Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Nếu \(n<2010\Rightarrow A<0\) (không thể là số chính phương)
Nếu \(n=2010,2011\Rightarrow A=0\in \text{scp}\) (thỏa mãn)
Nếu \(n\geq 2012\)
Đặt \(n-2012=a(a\geq 0)\). Khi đó:\(A=a(a+1)(a+2)\)
\(\Leftrightarrow A=(a^2+2a)(a+1)\)
Gọi \(d=\text{ƯCLN}(a^2+2a, a+1)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+2a\vdots d\\ a+1\vdots d\rightarrow a^2+a\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+2a-(a^2+a)\vdots d\Leftrightarrow a\vdots d\)
Mà \(a+1\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\)
Hay \(a^2+2a, a+1\) nguyên tố cùng nhau. Do đó để \((a^2+2a)(a+1)\) là một số chính phương thì $a^2+2a$ và $a+1$ là những số chính phương.
Đặt \(a^2+2a=t^2\Leftrightarrow a(a+2)=t^2\)
Nếu \(a\) lẻ. Dễ thấy \((a,a+2)\) nguyên tố cùng nhau. Do đó bản thân mỗi số là một số chính phương.\(\Rightarrow a=m^2; a+2=n^2(m,n\in\mathbb{N})\)
\(\Rightarrow 2=n^2-m^2=(n-m)(n+m)\)
Vì \(n+m\geq n-m>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-m=1\\ n+m=2\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n=3\Rightarrow n\not\in\mathbb{N}\)
(loại)
Nếu $a$ chẵn. Đặt \(a=2x\Rightarrow a(a+2)=t^2\Leftrightarrow 4x(x+1)=t^2\)
\(\Leftrightarrow x(x+1)=\left(\frac{t}{2}\right)^2\)
Dễ thấy $(x,x+1)$ nguyên tố cùng nhau. Do đó để tích hai số đó là một số chính phương thì bản thân mỗi số là số chính phương.
\(\Rightarrow x=m^2; x+1=n^2 (m,n\in\mathbb{N})\)
\(\Rightarrow 1=(n-m)(n+m)\)
Vì \(n+m\geq n-m>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-m=1\\ n+m=1\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n=2\Rightarrow n=1\)
\(\Rightarrow x=0\Rightarrow a=0\)
Khi $a=0$ thì $a+1=1$ cũng là số chính phương (thỏa mãn)
Do đó \(n=2012\)
Vậy \(n\in\left\{2010; 2011; 2012\right\}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ngược dấu:
\(\sqrt{x-2010}=\frac{1}{2}\sqrt{4(x-2010)}\leq \frac{4+(x-2010)}{4}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x-2010}-1\leq \frac{4+(x-2010)}{4}-1=\frac{x-2010}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}\leq \frac{1}{4}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}+\frac{\sqrt{y-2011}-1}{y-2011}+\frac{\sqrt{z-2012}-1}{z-2012}\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-2010=4\\ y-2011=4\\ z-2012=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2014\\ y=2015\\ z=2016\end{matrix}\right.\)
\(C=\sqrt[3]{2011}-\sqrt[3]{2010}=\frac{2011-2010}{\left(\sqrt[3]{2011^2}+\sqrt[3]{2011}\sqrt[3]{2010}+\sqrt[3]{2010^2}\right)}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{2011^2}+\sqrt[3]{2011}\sqrt[3]{2010}+\sqrt[3]{2010^2}\right)}\)
\(B=\sqrt[3]{2010}-\sqrt[3]{2009}=\frac{2010-2009}{\left(\sqrt[3]{2010^2}+\sqrt[3]{2010}\sqrt[3]{2009}+\sqrt[3]{2009^2}\right)}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{2010^2}+\sqrt[3]{2010}\sqrt[3]{2009}+\sqrt[3]{2009^2}\right)}\)Vì \(\left(\sqrt[3]{2011^2}+\sqrt[3]{2011}\sqrt[3]{2010}+\sqrt[3]{2010^2}\right)>\left(\sqrt[3]{2010^2}+\sqrt[3]{2010}\sqrt[3]{2009}+\sqrt[3]{2009^2}\right)\)
\(B< C\)
M<N
\(N=\left(2010^{2010}+2011^{2010}\right)^{2011}=\left(2010^{2010}+2011^{2010}\right)^{2010}.\left(2010^{2010}+2011^{2010}\right)\)
\(>\left(2010^{2010}+2011^{2010}\right)^{2010}.2011^{2010}=\left[\left(2010^{2010}+2011^{2010}\right)2011\right]^{2010}\)
\(>\left(2010^{2010}.2010+2011^{2010}.2011\right)^{2010}=\left(2010^{2011}+2011^{2011}\right)^{2010}=M\)
Vậy M < N,