Question

[Đặng Phương]

Cho hinh chóp S abcd có đáy la hình chữ nhật,AB=a ,BC=2a,SA=3a và SA vuông goc voi mat phang ABCD

a,cm rằng các tam giac SBC,SCD la nhung tam giac vuong

b,cm (SAC) vuong goc voi (SBD) c,tính goc giữa SC va (SBD) giup mik câu B,C với ạ

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu b đề sai, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) không hề vuông góc với nhau (chúng chỉ vuông góc trong trường hợp ABCD là hình vuông)

Do câu b đề sai, (SAC) và (SBD) không vuông góc nên câu c rất khó tính :(

Từ A, kẻ \(AH\perp\left(SBD\right)\)

Gọi K là điểm đối xứng H qua O \(\Rightarrow\) AHCK là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CK//AH\\CK=AH\end{matrix}\right.\Rightarrow CK\perp\left(SBD\right)\) (K đương nhiên thuộc (SBD) do H, O đều thuộc (SBD))

\(\Rightarrow\widehat{CSK}\) là góc cần tìm

Trong mp (SBD), nối B và H kéo dài cắt SD tại E

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\AB\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp SD\) (1)

Mà \(AH\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AH\perp SD\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow SD\perp\left(ABE\right)\Rightarrow SD\perp AE\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAD:

\(\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABE:

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{9a^2}+\frac{1}{4a^2}\Rightarrow AH=\frac{6a}{7}\)

Số đẹp quá ta :D

\(\Rightarrow CK=\frac{6a}{7}\)

Lại có:

\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{SA^2+AB^2+BC^2}=a\sqrt{14}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{CSK}=\frac{CK}{SC}=\frac{6}{7\sqrt{14}}\)