Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số f x = log 2 x log 2 x + 1 . Tính tổng  S = f 2 − 100 + f 2 − 99 + ... + f 2 − 2 + f 2 0 + f 2 1 + ... + f 2 98

A. S=99

B.S=100

C.S=200

D. S=198

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Ý tưởng bài toán: Với bài toán dạng này, ta thường chọn  hai giá trị a, b bất kì, tính tổng f a + f b  và tìm mối quan hệ giữa hai giá trị a, b.

f a + f b = log 2 a log 2 a + 1 + log 2 b log 2 b + 1 = 2 log 2 a log 2 b + log 2 a + log 2 b log 2 a + 1 log 2 b + 1

= 2 log 2 a log 2 b + log 2 a + log 2 b log 2 a log 2 b + log 2 a + log 2 b + 1 = 2 log 2 a log 2 b + log 2 a b log 2 a log 2 b + log 2 a b + 1

Cần chọn hai giá trị a, b sao cho tử rút gọn được với mẫu.

Ta thường chọn a+b=k hoặc ab=k. Ở bài toán này ta chọn ab=k.

Nếu a b = 1 4  thì log 2 a b = log 2 1 4 = − 2 .

Suy ra

f a + f b = 2 log 2 a log 2 b − 2 log 2 a log 2 b − 2 + 1 = 2

Vậy với các giá trị a, b thỏa mãn a b = 1 4  thì f a + f b = 2 .

Ta có 

S = f 2 − 100 + f 2 − 99 + ... + f 2 − 2 + f 2 0 + f 2 1 + ... + f 2 98

= f 2 − 100 + f 2 98 + f 2 − 99 + f 2 97 + ... + f 2 − 2 + f 2 0 = 2 + 2 + ... + 2 ⏟ 99  s o   2

= 99.2 = 198 .