Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x}{2};\frac{8}{y}\) ta có:
\(\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\)
\(\Leftrightarrow2\ge4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow0< \sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow0< \frac{x}{y}\le\frac{1}{4}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\left(0< t\le\frac{1}{4}\right)\Rightarrow-t\ge\frac{-1}{4}\)
Ta có: \(K=t+\frac{2}{t}=32t+\frac{2}{t}-31t\ge2\sqrt{32t.\frac{2}{t}}-31t\ge16-\frac{31}{4}=\frac{33}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\)
Vậy GTNN của K là \(\frac{33}{4}\) tại x=2;y=8
\(2\ge\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{y}{x}\ge4\)
\(K=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{31y}{16x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{16x}}+\frac{31}{16}.4=\frac{33}{4}\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{8}\\\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=2\\\frac{x}{y}=\frac{y}{16x}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\).
\(B=8x+\dfrac{6}{x}+18y+\dfrac{7}{y}=\left(8x+\dfrac{2}{x}\right)+\left(18y+\dfrac{2}{y}\right)+\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{y}\right)\ge8+12+23=43\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\right)\)
Vậy, \(MinB\) là \(43\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\right)\)
<=>4(x+y)=5
ta có:
\(S+5=\frac{4}{x}+4x+\frac{1}{4y}+4y\ge2\sqrt{\frac{4}{x}.4x}+2\sqrt{\frac{1}{4y}.4y}=2.4+2=10\)
\(\Rightarrow S\ge5\)
Vậy Min S=5 khi x=1;y=1/4
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
Dự đoán điểm rơi tại x = y = 2/3 ta sẽ làm như sau
\(A=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=\left(\frac{9x}{4}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{9y}{4}+\frac{1}{y}\right)-\frac{5}{4}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{9x}{4x}}+2\sqrt{\frac{9y}{4y}}-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}=\frac{13}{3}\)
Dấu "=" tại x = y = 2/3
Cách khác là UCT (không hay như cách kia đâu=)
Ta sẽ chứng minh: \(x+\frac{1}{x}\ge-\frac{5}{4}x+3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-2\right)^2}{4x}\ge0\) (đúng)
Thiết lập tương tự BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(VT\ge-\frac{5}{4}\left(x+y\right)+6\ge-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}+6=\frac{13}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi 3x - 2 = 3y - 2 = 0 tức là x = y = 2/3
\(5\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\ge\sqrt{15}\)
\(\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+3y^2+14xy}}=\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+2xy+3y^2+12xy}}\ge\frac{x^2}{\sqrt{9x^2+12xy+4y^2}}=\frac{x^2}{3x+2y}\)
\(A\ge sigma\frac{x^2}{3x+2y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{5}\ge\sqrt{\frac{3}{5}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
Ta có:
\(M=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\right)+\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\)
Có: \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}.\frac{3}{2x+y}}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}=\frac{3}{2x+y}\)
Có: \(\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\ge\frac{5}{8}\sqrt{2xy}=\frac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> 2x=y và xy=2
Do đó \(M\ge\frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> x=1 và y=2
Vậy GTNN của M là 11/4 khi x=1 và y=2
min=43.
cho mk ý kiến nhé
\(B=\left(8x+\frac{2}{x}\right)+\left(18y+\frac{2}{y}\right)+\left(\frac{4}{x}+\frac{5}{y}\right)\ge2\sqrt{8x.\frac{2}{x}}+2\sqrt{18y.\frac{2}{y}}+23..\)
\(B\ge2.4+2.6+23=43\)
B min = 43 khi \(\hept{\begin{cases}8x=\frac{2}{x}\\18y=\frac{2}{y}\\\frac{4}{x}=\frac{5}{y}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end{cases}.}}\)