Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước hết ta thấy O, A nằm trên cùng một mặt phẳng bờ \(\Delta\).
Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với \(\Delta\) tại H.
Đường thẳng d có phương trình: \(x+y-2=0\)
\(\Rightarrow H\) có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\end{matrix}\right.\Rightarrow H=\left(0;2\right)\)
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=2x_H-x_A=-2\\y_{A'}=2y_H-y_A=4\end{matrix}\right.\Rightarrow A'=\left(-2;4\right)\)
\(\Rightarrow OA'=2\sqrt{5}\)
Phương trình đường thẳng OA': \(2x+y=0\)
Khi đó: \(OM+MA=OM+MA'\ge OA'=2\sqrt{5}\)
\(min=2\sqrt{5}\Leftrightarrow M\) là giao điểm của \(\Delta\) và OA'
\(\Leftrightarrow M\) có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\2x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
Lời giải:
Vì $M$ thuộc $\Delta$ nên $M$ có tọa độ $(a-2,a)$
Độ dài đường gấp khúc $OMA$ là:
$OM+MA=\sqrt{a^2+(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2+a^2}$
$=\sqrt{2}.(\sqrt{(a-1)^2+1}+\sqrt{(2-a)^2+2^2})$
$\geq \sqrt{2}.\sqrt{(a-1+2-a)^2+(1+2)^2}$ (theo BĐT Mincopxky)
$=2\sqrt{5}$
Vậy $OMA$ min bằng $2\sqrt{5}$. Giá trị này đạt tại $a=\frac{4}{3}$
Vậy $M(\frac{-2}{3},\frac{4}{3})$
+câu a:+ gọi d là đường thẳng qua O vuông góc với \(\Delta\): pt d :x+y+m=0 , O(00) \(\in d\Rightarrow m=0\). vậy pt d :x+y =0
+giao điểm H của d và \(\Delta\) thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(-1;1\right)\)
+goi O' la diem doi xung voi O qua d \(\Rightarrow\)H là trung điểm OO'
\(\Rightarrow O'\left(-2;2\right)\)
câu b : goi M (a;b) \(\in\Delta\Rightarrow M\left(a;a+2\right)\)
+ O' doi xung O qua \(\Delta\) nen MO = MO'.
+ OM+MA=O'M+MA\(\ge OA\) dấu bằng xảy ra khi O',M,A thang hang \(\Leftrightarrow\overrightarrow{O'M}\)cùng phương với \(\overrightarrow{O'A}\)
+ \(\overrightarrow{O'M}=\left(a+2;a\right);\overrightarrow{O'A}=\left(4;-2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+2}{4}=\dfrac{a}{-2}\Rightarrow a=\dfrac{-2}{3}\Rightarrow M\left(\dfrac{-2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
Khoảng cách AM là nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của A lên \(\Delta\)
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc \(\Delta\Rightarrow\) d nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(1\left(x-2\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)
M là giao điểm của d và \(\Delta\) nên tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(1;1\right)\)
Ta thấy \(\left(2-2+1\right)\left(1-0+1\right)=2>0\Rightarrow A,B\) khác phía so với \(\Delta\)
Lấy B' đối xứng với B qua \(\Delta\)
BB' có phương trình \(2x+y+m=0\)
Do B thuộc đường thẳng BB' nên \(m=-2\Rightarrow BB':2x+y-2=0\)
B' có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow B'=\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)
a, \(MA+MB=MA+MB'\ge AB'\)
\(min=AB'\Leftrightarrow M\) là giao điểm của AB' và \(\Delta\)
\(\Leftrightarrow...\)
b, \(\left|MA-MB\right|=\left|MA-MB'\right|\le AB'\)
\(max=AB'\Leftrightarrow M\) là giao điểm của AB' và \(\Delta\)
\(\Leftrightarrow...\)
mỗi bài, mk làm một phần ví dụ cho cậu nhé
nó đối xứng với nhau qua pt đường thẳng đenta,
trường hợp (d) ko cắt (đen ta) hay (d) cắt (đen ta) thì đều làm theo phương pháp sau
lấy 2 điểm bất kì thuộc (d) thì ta có như sau: A(0:1) là điểm thuộc đường thẳng (d)
lấy A' đối xứng với A qua (đen ta)
liên hệ tính chất đối xứng qua đường thẳng thì hiểu là AA' vuông góc (đen ta)
đồng thời giao điểm của AA' với (đen ta) là trung điểm của AA'
dễ dàng tìm đc giao điểm của (đen ta) với (d) là K(-2/5;1/5)
từ pt (đenta) thì dễ dàng =) vecto pháp tuyến của (đenta) =) (3;-4)
vì AA' vuông góc với (đenta) nên =) vectơ pháp tuyến của AA' là (4;-3)
áp véctơ pháp tuyến của AA' vào phương trình tổng quát đc: 4(x-0)-3(y-1)=0 (=) 4x-3y+3=0
gọi I là giao điểm của AA' và (đenta) =) I(-6/7;-1/7)
mà I là trung điểm của AA'
chắc chắn cậu sẽ dễ dàng suy ra điểm A'
mà K và A' thuộc (d') nên dễ dàng =) phương trình của (d')
a, Cách 1: Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua (Δ)
⇒ OO’ ⊥ Δ tại trung điểm I của OO’.
+ (Δ) nhận
là một vtpt ⇒ (Δ) nhận 
là một vtcp
OO’ ⊥ Δ ⇒ OO’ nhận
là một vtpt. Mà O(0, 0) ∈ OO’
⇒ Phương trình đường thẳng OO’: x + y = 0.
+ I là giao OO’ và Δ nên tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:
Cách 2: Gọi O’(x, y) là điểm đối xứng với O qua Δ.
+ Trung điểm I của OO’ là
+ (Δ) nhận
là một vtpt ⇒ (Δ) nhận 
là một vtcp.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy O’(–2; 2).
b)
+ Vì O và A nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ nên đoạn thẳng OA không cắt Δ.
O’ và A thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng Δ nên O’A cắt Δ.
Do O’ đối xứng với O qua đường thẳng ∆ nên ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng OO’, với mọi M ∈ Δ ta có MO = MO’.
Độ dài đường gấp khúc OMA bằng OM + MA = O’M + MA ≥ O’A.
⇒ O’M + MA ngắn nhất khi O’M + MA = O’A ⇔ M là giao điểm của O’A và Δ.
⇒ O’A nhận
là một vtcp
⇒ O’A nhận
là một vtpt. Mà A(2; 0) ∈ O’A
⇒ Phương trình đường thẳng O’A : 1(x - 2) + 2(y - 0)= 0 hay x + 2y – 2 = 0.
M là giao điểm của O’A và Δ nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :
Vậy điểm M cần tìm là