Question

[Phạm Thành Đông]

Cho \(\Delta ABC\). Gọi \(P\)là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Một đường thẳng đi qua \(D\)và vuông góc với \(CP\) cắt \(AC\)và \(BC\)lần lượt tại \(M\)và \(N\).

a) Chứng minh \(\widehat{APB}=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\), từ đó chứng minh: \(AM.AB=AP^2\).

b) Chứng minh: \(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{AC.BC}=1\).

Answer 1

[Phạm Thành Đông]

Answer 2

[Phạm Thành Đông]

a) Xét \(\Delta ABC\)có:

\(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\)(định lí).

\(\Rightarrow\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=180^0-\widehat{ACB}\).

Xét \(\Delta PAB\)có:

\(\widehat{APB}+\widehat{PAB}+\widehat{ABP}=180^0\)(định lí).

\(\Rightarrow\widehat{APB}=180^0-\left(\widehat{PAB}+\widehat{ABP}\right)\).

\(\Rightarrow\widehat{APB}=180^0-\frac{\widehat{BAC}+\widehat{ABC}}{2}\).

\(\Rightarrow\widehat{APB}=180^0-\frac{180^0-\widehat{ACB}}{2}\).

\(\Rightarrow\widehat{APB}=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\)(điều phải chứng minh).

Ta lại có:

\(\widehat{AMP}=\widehat{MPC}+\widehat{MCP}\)(tính chất góc ngoài của \(\Delta MPC\)).

\(\Rightarrow\widehat{AMP}=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\).

Do đó \(\widehat{APB}=\widehat{AMP}\left(=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\right)\).

Xét \(\Delta MAP\)và \(\Delta PAB\)có:

\(\widehat{AMP}=\widehat{APB}\)(chứng minh trên).

\(\widehat{MAP}=\widehat{PAB}\)(giả thiết).

\(\Rightarrow\Delta MAP~\Delta PAB\left(g.g\right)\).

\(\Rightarrow\frac{AP}{AB}=\frac{AM}{AP}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow AB.AM=AP.AP=AP^2\)(điều phải chứng minh).