Question

[Hoàng Tiến Thành]

Cho ΔABCnhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng AD.AC = AE.AB và ^ABC= ^ADE

b) Chứng minh rằng ΔHEDvà ΔHBCđồng dạng

c)Chứng minh rằng BE.BA CD.CA = BC² 

d) Nếu ΔABCđều hãy tính tỉ số diện tíchΔHEDvà diện tích ΔABC          

Answer 1

[IS]

a) xét \(\Delta ADB\)zà \(\Delta AEC\)có

\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^0\end{cases}}\)

\(=>\Delta ADB~\Delta AEC\left(g.g\right)\)

\(=>\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=>AD.AC=AB.AE\left(dpcm\right)\)

\(taco\left(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=>\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\right)\)

xét \(\Delta ADE\)zà \(\Delta ABCco\)

\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\end{cases}=>\Delta ABE~\Delta ABC\left(c.g.c\right)}\)

=>\(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(dpcm\right)\)

Answer 2

[IS]

c) Xét tam giác AEC zà tam giác HDC óc

góc AEC= góc HDC =90 độ

góc HCE chung

=> tam giác AEC~ tam giác HDC 

=>\(\frac{AC}{HC}=\frac{EC}{DC}=>AC.DC=EC.HC\left(1\right)\)

xét tam giác BEC zà tam giác HEA có

góc BEC= góc AEH= 90 độ

góc BCE = góc  EAH ( cùng phụ zới góc EBC )

=> tam giác BEC ~ tam giác HEA (g.g)

=>\(\frac{BE}{HE}=\frac{EC}{EA}=>BE.EA=EC.HE\left(2\right)\)

từ 1 zà 2 suy ra

\(BE.BA+CD.CA=BH.BD+CH.CE\)

kẻ AH zuông goc zới BC cắt BC tại F

Tự CM \(\hept{\begin{cases}\Delta CFH~\Delta CEB\\\Delta BFH~\Delta BDC\end{cases}=>\hept{\begin{cases}CF.CB=CH.CE\\BF.BC=BH.BD\end{cases}=>BE.BA+CD.CA=CF.CB+BF.CB}}\)

\(=BC.\left(CF+BF\right)=BC^2\)