K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 5 2022

Theo bđt bunhiacopxki 

\(P\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=6\left(a+b+c\right)=18\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1 

10 tháng 5 2022

quên ct, làm lại bài nhé 

Theo bđt bunhiacopxki 

\(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(2a+2b+2c\right)=6.3=18\Rightarrow P=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1 

DD
10 tháng 5 2022

Ta có: 

\(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)

\(=6\left(a+b+c\right)=18\)

Suy ra \(P\le3\sqrt{2}\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=1\). 

21 tháng 6 2020

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

21 tháng 6 2020

Đặt \(S=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)

Ta dễ có

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)

Sử dụng phép tương tự khi đó:

\(S\le\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(=3\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

11 tháng 10 2020

Áp dụng bđt : \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(1)

CM bđt đúng: Từ (1) => 3xy + 3yz + 3xz \(\le\)x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

<=> 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz \(\ge\)0

<=> (x - y)2 + (y - z)2 + (x - z)2 \(\ge\)0 (luôn đúng với mọi x;y;z)

Khi đó: P = \(ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1

Vậy MaxP = 3 khi a = b = c = 1

11 tháng 10 2020

Ta có đánh giá quen thuộc sau: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)*đúng*

Áp dụng, ta được: \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

24 tháng 3 2018

Bài này làm cũng dài nên nhường bạn khác

NV
18 tháng 8 2021

\(9=3a^2+2b^2+2bc+2c^2=\left(a+b+c\right)^2+2a^2+b^2+c^2-2a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2+2a^2+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(2a-b-c\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)

\(T_{max}=3\) khi \(a=b=c=1\)

\(T_{min}=-3\) khi \(a=b=c=-1\)

18 tháng 8 2021

con cảm ơn thầy ah.

11 tháng 5 2023

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp điều chỉnh biểu thức P để biểu thức này có thể được phân tích thành tổng của các biểu thức có dạng a(x-y)+b(y-z)+c(z-x), trong đó x,y,z là các số thực không âm. Khi đó, ta có:

P = ab + bc - ca = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(-c+b) + b(c-a) + c(-b+a) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x), với x = -c+b, y = c-a và z = -b+a

Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm các giá trị lớn nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≤ b, vì c ≥ 0 y = c-a ≤ c ≤ 2022, vì a+b+c = 2022 z = -b+a ≤ a, vì b ≥ 0

Vậy giá trị lớn nhất của P là:

P_max = ab + bc - ca ≤ b(2022-a) + 2022a = 2022b

Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm các giá trị nhỏ nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≥ -2022, vì b ≤ 2022 y = c-a ≥ 0, vì c ≤ 2022 và a ≥ 0 z = -b+a ≥ -2022, vì a ≤ 2022

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:

P_min = ab + bc - ca ≥ (-2022)a + 0b + (-2022)c = -2022(a+c)

Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2022b và giá trị nhỏ nhất của P là -2022(a+c).

21 tháng 5 2023

Giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(P=a+b+c=\left(a-5\right)+\left(b-4\right)+\left(c-3\right)+12\) 

\(=\sqrt{\left(a-5\right)^2}+\sqrt{\left(b-4\right)^2}+\sqrt{\left(c-3\right)^2}+12\) 

\(\ge\sqrt{\left(a-5\right)^2+\left(b-4\right)^2+\left(c-3\right)^2}+12\)

\(\ge12\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow a=5;b=4;c=3\)

 

21 tháng 5 2023

Vậy \(min_P=12\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(5;4;3\right)\) hoặc các hoán vị

11 tháng 4 2019

Áp dụng BĐT Bun-hia-cop-xki ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{4}{3}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=2\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{4}{3}\)khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

11 tháng 4 2019

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

Suy ra \(A=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=4-2\left(ab+bc+ca\right)\)

Ta có BĐT \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\).Thay vào tìm được min