Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này cần chú ý: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{ac}\)
Và \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Thêm 3 vào 2 vế ta cần chứng minh:
\(\frac{2}{1-a}+\frac{2}{1-b}+\frac{2}{1-c}\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2}\) (chia hai vế cho 2 và chú ý 1 =a + b + c)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{ac}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{1}{ac}-\frac{a+b+2c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\)
Quy đồng mỗi cái ngoặc to phía sau là thấy nó > 0:D
Giả sử c = min{a,b,c} như vậy (a-c)(b-c)\(\ge0\) chúng ta có đpcm.
Is that true?
WLOG \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\). Áp dụng một bổ đề trong một bài giải của alibaba nguyễn trong câu hỏi của Neet ở học 24. Mọi người có thể tự chứng minh để nhớ lâu hoặc ai cần có thể hỏi ổng
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\) với a,b,c>0
Khi đó ta cần chứng minh \(2\left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+2\ge\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{2b+c+a}{c+a}+\frac{2c+a+b}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}-\frac{1}{2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}-\frac{1}{2}\ge\frac{b}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a+c+2b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)*đúng với \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\)*
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}\)
\(=\frac{9}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{27}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Mặt khác theo BĐT AM-GM có :
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2\le\left(\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)^3}{3}\right)=27\)
\(\Rightarrow\frac{27}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Xét \(t+\frac{1}{t}=\frac{1}{9}+\frac{1}{t}+\frac{81}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Vậy \(MinP=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=b=c=-1\)
Sửa lại chút , vội quá nên đánh lỗi .
Xét \(t+\frac{1}{t}=\frac{1}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8t}{9}\ge2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow MinP=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có :
\(\frac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^6}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^6}{c^3+ac^2+a^2c}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ca^2+c^2a}\)
( BĐT ..... )
TA đi cm : \(a^3+ab^2+a^2b+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ac^2+a^2c\) \(\le3\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
(*) CM : \(a^2b+ab^2=ab\left(a+b\right)\le a^3+b^3\) ( cái này tự cm )
Tương tự bc^2 ; b^2c ; ca^2 ; c^2a ...
=>\(a^3+ab\left(a+b\right)+b^3+bc\left(b+c\right)+c^3+ac\left(a+c\right)\le a^3+a^3+b^3+b^3+b^3+c^3+c^3+a^3+c^3\)
= 3 (a^3 + b^3 + c^3 )
BĐT được cm .
Dấu = xảy ra khi a = b= c
công tử bạc liêu
\(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự và cộng lại, ta có:\(p\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\) mà 3(ab+bc+ca)\(\le\)(a+b+c)^2=9
=>ab+bc+ca\(\le\)3
=> \(p\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra =>a=b=c=1
\(\text{⋄}\)Dễ có: \(B\ge\left(3+\frac{4}{a+b}\right)\left(3+\frac{4}{b+c}\right)\left(3+\frac{4}{c+a}\right)\)
\(\text{⋄}\)Đặt \(b+c=x;c+a=y;a+b=z\left(x,y,z>0\right)\)thì \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Giả thiết được viết lại thành: \(x+y+z\le3\)và ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)\)
\(\text{⋄}\)Ta có: \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)=27+36\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+48\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+\frac{64}{xyz}\)\(\ge27+36.\frac{9}{x+y+z}+48.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^2}+64.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\ge343\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1/2
1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :
\(P=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{a+b+c}=\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/2
2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(P=\left(4a+\frac{1}{a}\right)+\left(4b+\frac{1}{b}\right)+\left(4c+\frac{1}{c}\right)-3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge2\sqrt{4a\cdot\frac{1}{a}}+2\sqrt{4b\cdot\frac{1}{b}}+2\sqrt{4c\cdot\frac{1}{c}}-3\cdot\frac{3}{2}=4\cdot3-\frac{9}{2}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/2