Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n+1}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n+1}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^n=\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n+1}}\right)^n\) \(\left(1\right)\)
Lại có :
\(\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^n=\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_1}{a_2}.....\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}.....\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_1.a_2.a_3.....a_n}{a_2.a_3.a_4.....a_{n+1}}=\frac{a_1}{a_{n+1}}\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm : \(\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n+1}}\right)^n=\frac{a_1}{a_{n+1}}\)
Chúc bạn học tốt ~
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a_1-1}{100}=\frac{a_2-2}{99}=\frac{a_3-3}{98}=...=\frac{a_{100}-100}{1}=\frac{a_1-1+a_2-2+a_3-3+...+a_{100}-100}{100+99+98+...+1}\)
\(=\frac{\left(a_1+a_2+a_3+...+a_{100}\right)-\left(1+2+3+...+100\right)}{5050}=\frac{10100-5050}{5050}=1\)
\(\text{Suy ra : }\frac{a_1-1}{100}=1\Rightarrow a_1-1=100\Rightarrow a_1=101\)
\(\frac{a_2-2}{98}=1\Rightarrow a_2-2=98\Rightarrow a_2=101\)
..................
tương tự như thế ta được;
\(a_1=a_2=...=a_{100}=101\)
a) A = \(\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7^4}+\frac{1}{7^6}-\frac{1}{7^8}+...+\frac{1}{7^{98}}-\frac{1}{7^{100}}\)
Nhân \(\frac{1}{7^2}\)với A .Ta được :
A .\(\frac{1}{7^2}\)= \(\frac{1}{7^4}-\frac{1}{7^6}+\frac{1}{7^8}-...-\frac{1}{7^{98}}+\frac{1}{7^{100}}-\frac{1}{7^{102}}\)
Ta có : \(\frac{1}{7^2}.A+A=\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\)
\(\Rightarrow\frac{50}{49}.A=\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\)
\(\Rightarrow A.\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\right).\frac{49}{50}< \frac{1}{50}\left(đpcm\right)\)
b)Giả sử a1 >a2 > a3 ...> a2015 nên a1 > a2015
Theo đề ra ta có : \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2015}}< \frac{1}{2016}+\frac{1}{2015}+...+1=A\)
A< \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8}\right)\)có 2007 số \(\frac{1}{8}\)
Mà \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8}\right)< 1+1+...+\frac{2018}{8}\)
Giả sử trong 2015 số nguyên dương đã cho không có số nào bằng nhau .
Và a1 < a2 < a3 < ... < a2015
Ta có : \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{2015}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2011}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+1007=1008\)
=> Giả sử là sai => ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau ( đpcm )
Giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_{2016}}{a_{2017}}=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{2016}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{2017}}\)
\(\Rightarrow\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}...\frac{a_{2016}}{a_{2017}}=\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{2016}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{2017}}\right)^{2016}\)
\(\Rightarrow\frac{a_1}{a_{2017}}=\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{2016}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{2017}}\right)^{2016}\left(đpcm\right)\)
