Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \((a^{2007}+b^{2007})\left(a+b\right)-\left(a^{2006}+b^{2006}\right)ab\)
\(=\left(a^{2008}+a^{2007}b+ab^{2007}+b^{2008}\right)-\left(a^{2007}b+ab^{2007}\right)\)
\(=a^{2008}+b^{2008}\)
Mà: \(a^{2006}+b^{2006}=a^{2007}+b^{2007}=a^{2008}+b^{2008}\) ( * )
\(\Rightarrow\left(a^{2008}+b^{2008}\right)\left(a+b\right)-\left(a^{2008}+b^{2008}\right)ab=a^{2008}+b^{2008}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^{2008}+b^{2008}\right)\left(a+b-ab\right)=a^{2008}+b^{2008}\)
\(\Leftrightarrow a+b-ab=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)-b\left(a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)
thay vào (*) ta tính dc:
a=1 thì\(\orbr{\begin{cases}b=1\\b=0\end{cases}}\) b=1 thì \(\orbr{\begin{cases}a=1\\a=0\end{cases}}\)
mặt khác a, b dương => a=1, b=1
Khi đó: \(a^{2009}+b^{2009}=1+1=2\)
Ta có : \(a^{2006}+b^{2016}=a^{2007}+b^{2007}=a^{2008}+b^{2008}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^{2006}+b^{2006}-\left(a^{2007}+a^{2007}\right)=0\left(1\right)\\a^{2008}+b^{2008}-\left(a^{2007}+b^{2007}\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Cộng (1) với (2) => \(a^{2008}+b^{2008}-2\left(a^{2007}+b^{2007}\right)+a^{2006}+b^{2006}=0\)
\(\Leftrightarrow a^{2008}-2a^{2007}+a^{2006}+b^{2008}-2b^{2007}+b^{2006}\)
\(\Leftrightarrow a^{2006}\left(a^2-2a+1\right)+b^{2006}\left(b^2-2b+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^{2006}\left(a-1\right)^2+b^{2006}\left(b-1\right)^2=0\) (*)
Vì a , b > 0 và : \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\) ; \(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)
Nên : phương trình (*) <=> \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=1}}\)
Vậy \(S=a^{2009}+b^{2009}=1+1=2\)
Từ \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow a^{100}+b^{100}+a^{102}+b^{102}=2\left(a^{101}+b^{101}\right)\)
\(\Rightarrow a^{100}+b^{100}+a^{102}+b^{102}-2\left(a^{101}+b^{101}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a^{102}-2a^{101}+a^{100}\right)+\left(b^{102}-2b^{101}+b^{100}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a^{51}-a^{50}\right)^2+\left(b^{51}-b^{50}\right)^2=0\left(1\right)\)
Vif \(\hept{\begin{cases}\left(a^{51}-a^{50}\right)^2\ge0\forall a\\\left(b^{51}-b^{50}\right)^2\ge0\forall b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a^{51}-a^{50}\right)^2+\left(b^{51}-b^{50}\right)^2\ge0\forall a,b\left(2\right)\)
Tứ (1) và (2) :
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^{51}-a^{50}\right)^2=0\\\left(b^{51}-b^{50}\right)^2=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{51}-a^{50}=0\\b^{51}-b^{50}=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{51}=a^{50}\\b^{51}=b^{50}\end{cases}}\)
Vì a,b là các số thực dương nên \(a=b=1\)
\(\Rightarrow P=a^{2007}+b^{2007}=1^{2007}+1^{2007}=1+1=2\)
Vậy \(P=2\)
Xét số nguyên \(x\)bất kì.
- \(x=3k\): \(x^3=27k^3⋮9\)
- \(x=3k+1\): \(x^3=\left(3k+1\right)^3=27k^3+27k^2+9k+1\equiv1\left(mod9\right)\)
- \(x=3k-1\): \(x^3=\left(3k-1\right)^3=27k^3-27k^2+9k-1\equiv-1\left(mod9\right)\)
Vậy lập phương của một số nguyên khi chia cho \(9\)chỉ có thể có dư là \(0,1,8\).
mà \(a^3+b^3+c^3=2007⋮9\)nên có ít nhất một trong ba số hạng đó chia hết cho \(9\).
khi đó nó chia hết cho \(3\).
Vậy \(abc⋮3\).
