Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|\)
\(=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\)
\(\Rightarrow T_{min}\) khi và chỉ khi \(MG_{min}\Rightarrow MG=0\) hay M trùng G
Theo công thức trọng tâm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{2-1+6}{3}=\dfrac{7}{3}\\y_M=\dfrac{3-1+0}{3}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)
b.
Tương tự câu a, ta có \(T=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\) đạt min khi MG đạt min
\(\Rightarrow\) M là hình chiếu vuông góc của G lên Ox
Mà \(G\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};0\right)\)
c.
Do M thuộc Ox nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(2-m;3\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-1-m;-1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{u}=\left(3m+6;7\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\left(3m+6\right)^2+7^2}\ge\sqrt{0+7^2}=7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(3m+6=0\Rightarrow m=-2\)
\(\Rightarrow M\left(-2;0\right)\)
a/ Gọi K (hay L gì đó) có tọa độ \(K\left(0;y\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;3\right)\\\overrightarrow{CK}=\left(-5;y-10\right)\end{matrix}\right.\)
Do AB//CK \(\Leftrightarrow\frac{-5}{4}=\frac{y-10}{3}\Rightarrow y=\frac{25}{4}\) \(\Rightarrow K\left(0;\frac{25}{4}\right)\)
b/ Gọi \(J\left(x;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{JA}=\left(-1-x;2\right)\) ; \(\overrightarrow{JB}=\left(3-x;5\right)\); \(\overrightarrow{JC}=\left(5-x;10\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{JA}-2\overrightarrow{JB}+4\overrightarrow{JC}=\left(13-3x;32\right)\)
\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{JA}-2\overrightarrow{JB}+4\overrightarrow{JC}\right|=\sqrt{\left(13-3x\right)^2+32^2}\ge32\)
\(T_{min}=32\) khi \(13-3x=0\Leftrightarrow x=\frac{13}{3}\Rightarrow J\left(\frac{13}{3};0\right)\)
c/ Gọi \(Q\left(0;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AQ}=\left(1;y-2\right)\\\overrightarrow{QC}=\left(5;10-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T=AQ+CQ=\sqrt{1^2+\left(y-2\right)^2}+\sqrt{5^2+\left(10-y\right)^2}\)
\(\Rightarrow T\ge\sqrt{\left(1+5\right)^2+\left(y-2+10-y\right)^2}=10\)
\(T_{min}=10\) khi \(\frac{y-2}{1}=\frac{10-y}{5}\Leftrightarrow y=\frac{10}{3}\Rightarrow Q\left(0;\frac{10}{3}\right)\)
d/ Gọi \(P\left(x;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AP}=\left(x+1;-2\right)\\\overrightarrow{PB}=\left(3-x;5\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T=PA+PB=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(-2\right)^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2+5^2}\)
\(\Rightarrow T\ge\sqrt{\left(x+1+3-x\right)^2+\left(-2+5\right)^2}=5\)
\(T_{min}=5\) khi \(\frac{x+1}{-2}=\frac{3-x}{5}\Rightarrow x=-\frac{11}{3}\Rightarrow P\left(-\frac{11}{3};0\right)\)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
\(x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{1}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{1}{3}\)
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG\)
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\) nhỏ nhất khi \(3MG\) nhỏ nhất
\(\Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(G\) trên trục tung
\(\Leftrightarrow M\left(0;\dfrac{1}{3}\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\le3MG=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(M\left(0;\dfrac{1}{3}\right)\)
\(\Rightarrow\) Tung độ \(y_M=\dfrac{1}{3}\)
Gọi \(M\left(x;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{MA}\left(2-x;5\right)\) ; \(\overrightarrow{MB}=\left(-1-x;8\right)\); \(\overrightarrow{MC}=\left(4-x;-3\right)\)
a/ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(5-3x;10\right)\)
\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{\left(5-3x\right)^2+10^2}\ge10\)
\(T_{min}=10\) khi \(5-3x=0\Rightarrow x=\frac{5}{3}\Rightarrow M\left(\frac{5}{3};0\right)\)
b/ \(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\left(17-4x;-7\right)\)
\(\Rightarrow A=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{\left(17-4x\right)^2+\left(-7\right)^2}\ge7\)
\(A_{min}=7\) khi \(17-4x=0\Rightarrow x=\frac{17}{4}\Rightarrow M\left(\frac{17}{4};0\right)\)
tại sao
Q=\(2\sqrt{\left(9-3m\right)^2}...\)
chuyển xuống thành \(\sqrt{\left(18-6m\right)^2...}\)
sao không phải là nhân 4 ở trong mài
vì \(2=\sqrt{4}\), vậy thì phải nhân 4 chứ
Do M thuộc Ox, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(m;0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(1-m;-4\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(4-m;5\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(-m;-9\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left(9-3m;6\right)\\\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(4-2m;-4\right)\end{matrix}\right.\)
\(Q=2\sqrt{\left(9-3m\right)^2+6^2}+3\sqrt{\left(4-2m\right)^2+\left(-4\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(6m-18\right)^2+12^2}+\sqrt{\left(12-6m\right)^2+12^2}\)
\(=\sqrt{\left(18-6m\right)^2+12^2}+\sqrt{\left(6m-12\right)^2+12^2}\)
\(Q\ge\sqrt{\left(18-6m+6m-12\right)^2+\left(12+12\right)^2}=6\sqrt{17}\)
\(\Rightarrow a-b=-11\)
a.
Do K thuộc d nên tọa độ có dạng: \(K\left(a;2-a\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}=\left(a-3;-a-2\right)\\\overrightarrow{BK}=\left(a-2;1-a\right)\\\overrightarrow{CK}=\left(a+1;4-a\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AK^2=\left(a-3\right)^2+\left(-a-2\right)^2=2a^2-2a+13\\BK^2=\left(a-2\right)^2+\left(1-a\right)^2=2a^2-6a+5\\CK^2=\left(a+1\right)^2+\left(4-a\right)^2=2a^2-6a+17\end{matrix}\right.\)
\(T=AK^2-2BK^2-CK^2=2a^2-2a+13-2\left(2a^2-6a+5\right)-\left(2a^2-6a+17\right)\)
\(=-4a^2+16a-14=-4\left(a-2\right)^2+2\le2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2\Rightarrow K\left(2;0\right)\)
b. Điểm M là điểm nào nhỉ?
Gọi \(I\) là tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C ứng với bộ \(\left(1,4,1\right)\).
Khi đó: \(\overrightarrow{IA}+4\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\). Gọi Y là trung điểm AC thì \(4\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IY}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IY}=-2\overrightarrow{IB}\)
Từ đó dễ dàng xác định được vị trí của I là điểm nằm trên cạnh BY sao cho \(IY=2IB\)
Gọi \(J\) là tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C ứng với bộ \(\left(9,-6,3\right)\). Khi đó \(9\overrightarrow{JA}-6\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}\right)+6\left(\overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow6\overrightarrow{JY}+6\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{JY}=\overrightarrow{AB}\)
Vậy ta thấy J là điểm sao cho tứ giác ABYJ là hình hình hành.
Ta có \(\left|\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+3\left|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)
\(=\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+4\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right|+\left|9\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA}\right)-6\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JB}\right)+3\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}\right)\right|\)
\(=\left|6\overrightarrow{MI}\right|+\left|6\overrightarrow{MJ}\right|\)
\(=6\left(MI+MJ\right)\)
Vậy ta cần tìm M để \(MI+MJ\) đạt GTNN. Ta thấy \(MI+MJ\ge IJ=const\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) M nằm trên đoạn thẳng IJ.
1.
Lấy điểm A' đối xứng với A qua Ox \(\Rightarrow A\left(-2;-1\right)\)
M có tọa độ \(M\left(x;0\right)\)
Ta có \(AM+MB=A'M+MB\ge AB=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\)
\(min=41\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{A'M}=k\overrightarrow{A'B}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=k.4\\1=k.5\end{matrix}\right.\Rightarrow x=-\dfrac{6}{5}\Rightarrow M\left(-\dfrac{6}{5};0\right)\)
2.
Gọi N là trung điểm BC
\(\overrightarrow{MA}.\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MN}=0\)
\(\Leftrightarrow2MA.MN.cosAMN=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}MA=0\\MN=0\\cosAMN=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}M\equiv A\\M\equiv N\\\widehat{AMN}=90^o\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính AN
Gọi \(M\left(x;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-1-x;4\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(1-x;-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left(1-3x;0\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{\left(1-3x\right)^2}\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{1}{3}\Rightarrow M\left(\frac{1}{3};0\right)\)
Gọi \(P\left(0;y\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{PA}=\left(-1;4-y\right)\\\overrightarrow{PB}=\left(1;-2-y\right)\\\overrightarrow{PC}=\left(3;4-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}-4\overrightarrow{PC}=\left(-11;5y-16\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}-4\overrightarrow{PC}\right|=\sqrt{11^2+\left(5y-16\right)^2}\ge11\)
Dấu "=" xảy ra khi \(5y-16=0\Rightarrow y=\frac{16}{5}\Rightarrow P\left(0;\frac{16}{5}\right)\)