Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mọi người đâu rồi giải hộ mình đi hay không ai giải nổi ah hj
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).
Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).
Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).
Do đó bđt ban đầu cũng đúng.
Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.
Áp dung BĐT co- si, ta có:
\(y+z\le\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}\)
D đó: \(\frac{x^2}{y+z}\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)
tương tự: \(\frac{y^2}{z+x}\ge\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}},\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
Đặt : \(\sqrt{x^2+y^2}=a;\sqrt{y^2+z^2}=b;\sqrt{x^2+z^2}=c\left(a,b,c>0\right)\)
Khi đó: \(T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\left(\frac{\left(a+c\right)^2}{2b}-b\right)+\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)+\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2a}-a\right)\right)\)
\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\left(a+c\right)-3b+2\left(a+b\right)-3c+2\left(b+c\right)-3a\right)\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2017}{2}}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x$
$\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq y$
$\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq z$
Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn ta được:
$P\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1$
Vậy $P_{\min}=1$ khi $x=y=z=\frac{2}{3}$
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
\(M=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\le\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}+\frac{z}{2z}=\frac{3}{2}\)
Nên max M là \(\frac{3}{2}\) khi x=y=z=1
\(x+y+z=3\ge x,y,z\)\(\Rightarrow M\ge\frac{x}{10}+\frac{y}{10}+\frac{z}{10}=\frac{3}{10}\)
Nên min M là \(\frac{3}{10}\) khi trong x,y,z có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 3
