Câu hỏi của CLTT

Question

Câu 8 (3,0 điểm) Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O). Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi D là giao điểm của AH và BC. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại S.

a) Chứng minh tứ giác...

Lê Song Phương · Accepted Answer

Mình tóm tắt thôi nhé, tại bài này cũng khá dài.

a) $\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^o+90^o=180^o$ nên tứ giác AEHF nội tiếp

Hơn nữa $\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^o$ nên tứ giác AEDB nội tiếp $\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{DBE}$ hay $\widehat{EAH}=\widehat{EBC}$

b) Dễ chứng minh được: $\Delta AFH\sim\Delta ADB\Rightarrow AF.AB=AH.AD$

Mặt khác, $\widehat{SAF}=\widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung đó) và $\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$ ($\Delta AEF\sim\Delta ABC$) nên $\widehat{SAF}=\widehat{AFE}$ $\Rightarrow$ SA//EF. Mà $SA\perp AO$ nên $EF\perp AO$.

Do đó, dễ chứng minh rằng $\Delta AFM\sim\Delta AKB\left(g.g\right)\Rightarrow AF.AB=AM.AK$

Từ đó suy ra $AH.AD=AM.AK\Rightarrow\Delta AHM\sim\Delta AKD$

Lại có tứ giác QDNK nội tiếp ( $\widehat{QDN}=\widehat{QKN}=90^o$) nên $\widehat{AQN}=\widehat{AKD}$  $\Rightarrow\Delta AKD\sim\Delta AQN$

Do đó $\Delta AHM\sim\Delta AQN$ $\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{AQN}$ $\Rightarrow$ QN//HM (2 góc đồng vị bằng nhau)

c) Gọi J là tâm đường tròn (AH)

Dễ chứng minh được $\Delta FAH\sim\Delta FCB$ $\Rightarrow\Delta FJA\sim\Delta FIC$

$\Rightarrow\widehat{JFA}=\widehat{IFC}$

Mà $\widehat{JFA}+\widehat{JFC}=90^o$ nên $\widehat{IFC}+\widehat{JFC}=90^o$ hay $\widehat{JFI}=90^o$

$\Rightarrow$ IF là tiếp tuyến của (J) tại F.

Tương tự, IE là tiếp tuyến của (J) tại E, do đó $IJ\perp EF$ Mà EF//SA (cmt) $\Rightarrow SA\perp IJ$

Khi đó tam giác ASI có các đường cao AD, IJ cắt nhau tại J nên J là trực tâm tam giác ASI $\Rightarrow SJ\perp AI$ hay $SJ\perp AP$

Lại có $JA=JP$ nên JS là trung trực của AP $\Rightarrow SA=SP$ (đpcm)Câu trả lời:  Mình tóm tắt thôi nhé, tại bài này cũng khá dài.