Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{y+z-x}{x}=\dfrac{z+x-y}{y}=\dfrac{x+y-z}{z}\\ \Rightarrow\dfrac{y+z-x}{x}+2=\dfrac{z+x-y}{y}+2=\dfrac{x+y-z}{z}+2\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{x}=\dfrac{x+y+z}{y}=\dfrac{x+y+z}{z}\\ \Rightarrow x=y=z\\ \Rightarrow A=\left(1+1\right).\left(1+1\right).\left(1+1\right)=8\)
Ta có \(x+y+z=1\Rightarrow x+y=1-z,\) ta có:
\(\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}=\frac{1-z}{\sqrt{xy+1-x-y}}=\frac{1-z}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}\)
\(\frac{y+z}{\sqrt{yz+x}}=\frac{1-x}{\sqrt{yz+1-y-z}}=\frac{1-x}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}}\)
\(\frac{z+x}{\sqrt{zx+y}}=\frac{1-y}{\sqrt{zx+1-x-z}}=\frac{1-y}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}\)
Khi đó \(P=\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}+\frac{y+z}{\sqrt{yz+x}}+\frac{z+x}{\sqrt{zx+y}}=\frac{1-z}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}+\frac{1-x}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}}+\frac{1-y}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1-z}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\times\frac{1-x}{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\times\frac{1-y}{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}=3\)
Vậy \(MinP=3\) đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+z}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+x}}+\dfrac{z+x}{\sqrt{xz+y}}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+\left(x+y+z\right)x}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{zx+\left(x+y+z\right)y}}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+xz+yz+z^2}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+x^2+xy+xz}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{xz+xy+y^2+yz}}\)
\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}}}=3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}=3\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
Vậy \(P_{min}=3\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
tham khảo https://olm.vn/hoi-dap/detail/2037215608.html
#Học-tốt
Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
=> \(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=1\)
=> xy + yz + xz - xyz = 0 (1)
=> y(x + z) + xy(1 - z) = 0
=> y[x + z + (1 - z).x] = 0
=> \(\orbr{\begin{cases}y=0\left(\text{loại}\right)\\x+z+x\left(1-z\right)=0\end{cases}\Rightarrow x\left(2-z\right)+z=0\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-z\right)=-2}\)
Lại có \(x;z\inℕ^∗\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1\inℕ^∗\Leftrightarrow x>1\\2-z\inℕ^∗\Leftrightarrow z< 2\end{cases}}\)(2)
Từ (1) ta có : -2 = (-2).1 = (-1).2
Lập bảng xét các trường hợp
| x - 1 | -1 | 2 | 1 | -2 |
| 2 - z | 2 | -1 | -2 | 1 |
| x | 0(loại) | 3 | 2 | -3(loại) |
| z | 0(loại) | 3 | 4 | 3 |
| y | \(y\in\varnothing\) | 3 | 2 | 1(loại) |
Vậy các cặp (x;y;z) thỏa mãn là : (3;3;3) ; (2;4;2) ; (2;2;4) ; (4;2;2)
\(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{xy}\\y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}\\z-x=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{\left(xyz\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(xyz\right)^2}=1\Rightarrow xyz=\pm1\)(đpcm)
a, Ta có \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)
(=) \(\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)
(=) \(\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)
(=) \(\left(b-a\right).\left(a-b\right)=ab\)
Vì a,b là 2 số dương
=> \(\hept{\begin{cases}ab>0\left(1\right)\\\left(b-a\right).\left(a-b\right)< 0\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) và (2) => Không tồn tại hai số a,b để \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)
b, Cộng vế với vế của 3 đẳng thức ta có :
\(x+y+y+z+x+z=-\frac{7}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\)
(=) \(2.\left(x+y+z\right)=-\frac{5}{6}\)
(=) \(x+y+z=\frac{-5}{12}\)
Ta có : \(x+y+z=\frac{-5}{12}\left(=\right)-\frac{7}{6}+z=-\frac{5}{12}\left(=\right)z=\frac{3}{4}\)
Lại có \(x+y+z=\frac{-5}{12}\left(=\right)x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{12}\left(=\right)x=-\frac{2}{3}\)
Lại có \(x+y+z=-\frac{5}{12}\left(=\right)y+\frac{1}{12}=-\frac{5}{12}\left(=\right)y=\frac{-1}{2}\)
Không mất tính tổng quát ta giả sử x\(\le y\le\) z
=> 1/x \(\ge\)1/y \(\ge\) 1/z
=> 1/x + 1/x + 1/x \(\ge\) 1/x + 1/y + 1/z = 1
=> 3/x \(\ge\) 3/3
=> x \(\le3\) (1)
Có: 1/x < 1 do 1/x + 1/y + 1/z = 1
=> x > 1 (2)
Từ (1) và (2) mà x nguyên dương => x = 2 hoặc x = 3
+ Nếu x = 2 thì 1/y + 1/z = 1 - 1/2 = 1/2
Có: 1/y + 1/y \(\ge\) 1/y + 1/z = 1/2
=> 2/y \(\ge\)2/4
=> y \(\le\) 4 (3)
Lại có: 1/y < 1/2 do 1/y + 1/z = 1/2
=> y > 2 (4)
Từ (3) và (4) mà y nguyên dương nên y = 3 hoặc y = 4
Giá trị tương ứng của z là 6; 4
Tương tự như vậy với x = 3 ta tìm được y = z = 3
Vậy ...