Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/
-Cauchy-Schwar
\(P=\sum\frac{a^4}{a\sqrt{b^2+3}}\ge\frac{\left(\sum a^2\right)^2}{\sum a\sqrt{b^2+3}}\)
Côsi: \(\sum a\sqrt{b^2+3}=\frac{1}{2}\sum2a.\sqrt{b^2+3}\le\frac{1}{2}.\sum\frac{\left(2a\right)^2+b^2+3}{2}=\frac{1}{4}.\left[5\left(a^2+b^2+c^2\right)+3.3\right]=6\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3^2}{6}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
b/
Côsi: \(8^x+8^x+64\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.64}=12.4^x\Rightarrow8^x\ge6.4^x-32\)
\(\Rightarrow8^x+8^y+8^z\ge6\left(4^x+4^y+4^z\right)-96\)
\(4^x+4^y+4^z\ge3\sqrt[3]{4^{x+y+z}}=3\sqrt[3]{4^6}=48\)
\(\Rightarrow-2\left(4^x+4^y+4^z\right)\le-96\)
\(\Rightarrow8^x+8^y+8^z\ge6\left(4^x+4^y+4^z\right)-2\left(4^x+4^y+4^z\right)=4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)
Lời giải:
ĐK: $x\in\mathbb{R}$
$A=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}=1+\frac{x}{x^2+1}$
$2A=2+\frac{2x}{x^2+1}=1+\frac{(x+1)^2}{x^2+1}$
Vì $(x+1)^2\geq 0; x^2+1>0$ với mọi $x$ nên $\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\geq 0$
$\Rightarrow 2A\geq 1$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{2}$. Vậy $A_{\min}=\frac{1}{2}$ khi $x=-1$
Mặt khác:
$2A=2+\frac{2x}{x^2+1}=3-(1-\frac{2x}{x^2+1})=3-\frac{(x-1)^2}{x^2+1}$
Lập luận tương tự ở trên ta cũng có $\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\geq 0$
$\Rightarrow 2A\leq 3\Rightarrow A\leq \frac{3}{2}$
Vậy $A_{\max}=\frac{3}{2}$ khi $x=1$
a) Với x = 25 thì \(N=\frac{\sqrt{25}+1}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}\)
b) Ta có \(M=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2.\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(M=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
Suy ra \(S=M.N=\frac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
Xét A-2 để tìm max