Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC
nên \(AH^2=HB\cdot HC\left(1\right)\)
Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB
nên \(AH^2=AE\cdot AB\left(2\right)\)
Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AH^2=AF\cdot AC\left(3\right)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC=BH\cdot HC\)
a: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
b: Sửa đề: \(AE\cdot EB+AF\cdot FC=HB\cdot HC\)
Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)
=>AEHF là hình chữ nhật
Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot EB=HE^2\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot FC=HF^2\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(HB\cdot HC=AH^2\)
\(AE\cdot EB+AF\cdot FC=HE^2+HF^2\)
\(=EF^2=AH^2=HB\cdot HC\)
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
a) Xét ΔABC vuông tại A có HB là hình chiếu của AB trên BC(AH là đường cao ứng với cạnh BC)
nên \(AB^2=HB\cdot BC\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét ΔABC vuông tại A có HC là hình chiếu của AC trên BC(AH là đường cao ứng với cạnh BC)
nên \(AC^2=HC\cdot BC\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Ta có: \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB\cdot BC}{HC\cdot BC}=\frac{HB}{HC}\)(đpcm)
b) Xét ΔAHB vuông tại H có BE là hình chiếu của HB trên AB(HE là đường cao ứng với cạnh AB)
nên \(HB^2=BE\cdot AB\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét ΔAHC vuông tại H có CF là hình chiếu của CH trên AC(HF là đường cao ứng với cạnh AC)
nên \(HC^2=CF\cdot AC\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Ta có: \(\frac{HB}{HC}=\frac{AB^2}{AC^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{HB}{HC}\right)^2=\left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2=\frac{AB^4}{AC^4}\)
hay \(\frac{HB^2}{HC^2}=\frac{AB^4}{AC^4}\)
mà \(\frac{HB^2}{HC^2}=\frac{BE\cdot AB}{CF\cdot AC}\)
nên \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BE\cdot AB}{CF\cdot AC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BE}{CF}\cdot\frac{AB}{AC}\)
hay \(\frac{BE}{CF}=\frac{AB^4}{AC^4}:\frac{AB}{AC}=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}\)(đpcm)
a) Ta có: \(AB.sinC+AC.cosC=AB.\dfrac{AB}{BC}+AC.\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB^2}{BC}+\dfrac{AC^2}{BC}\)
\(=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC}=\dfrac{BC^2}{BC}=BC\)
b) Vì \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) nội tiếp
\(\Rightarrow EF=AH\Rightarrow EF.BC.AE=AH.BC.AE\)
\(=AB.AC.AE\left(AB.AC=AH.BC=2S_{ABC}\right)=AE.AB.AC\)
\(=AH^2.AC=AF.AC.AC=AF.AC^2\)
c) Ta có: \(AH.BC.BE.CF=AB.AC.BE.CF=BE.BA.CF.CA\)
\(=BH^2.CH^2=\left(BH.CH\right)^2=\left(AH^2\right)^2=AH^4\)
\(\Rightarrow AH^3=BC.BE.CF\)
Vì AEHF là hình chữ nhật \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=HF\\AF=EH\end{matrix}\right.\)
Vì \(BE\parallel HF\) \(\Rightarrow\angle CHF=\angle CBA\)
Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta HFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BEH=\angle HFC=90\\\angle EBH=\angle FHC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta HFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{BE}{EH}=\dfrac{HF}{FC}\Rightarrow\dfrac{BE}{AF}=\dfrac{AE}{CF}\)
\(\Rightarrow BE.CF=AE.AF\Rightarrow BC.AE.AF=BC.BE.CF=AH^3\)
1/
Xét tg vuông ABH có
\(AH^2=AE.AB\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
Xét tg vuông ACH có
\(AH^2=AF.AC\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\) (cùng bằng \(AH^2\) )
2/
\(HE\perp AB\) (gt)
\(AC\perp AB\) (gt) \(\Rightarrow AF\perp AB\)
=> AF//HE (cùng vuông góc với AB) (1)
Ta có
\(HF\perp AC\) (gt)
\(AB\perp AC\) (gt) \(\Rightarrow AE\perp AC\)
=> AE//HF (cùng vuông góc với AC) (2)
Từ (1) và (2) => AEHF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hình bình hành )
=> AE = HF
Xét tg vuông AHC có
\(HF^2=AF.FC\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
\(\Rightarrow AE^2=AF.FC\)
3/
E; F cùng nhìn AH dưới góc \(90^o\)
=> AEHF là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{EFH}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EH) (1)
\(\widehat{AEF}=\widehat{EFH}\) (góc so le trong) (2)
\(\widehat{AEF}=\widehat{IEB}\) (góc đối đỉnh) (3)
\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) ) (4)
Xét tg IBE và tg IFC có
Từ (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow\widehat{IEB}=\widehat{ACB}\)
\(\widehat{EIB}\) chung
=> tg IBE đồng dạng với tg IFC (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{IB}{IF}\Rightarrow IE.IF=IB.IC\)
4/
Ta có
\(\widehat{BAK}+\widehat{BAM}=\widehat{MAK}=90^o\)
\(\widehat{CAM}+\widehat{BAM}=\widehat{BAC}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{CAM}\)
Mà \(AM=\dfrac{BC}{2}=MB=MC\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)
=> tg AMC cân tại M \(\Rightarrow\widehat{CAM}=\widehat{ACM}\)
\(\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{BAK}\)
Xét tg ABK và tg ACK có
\(\widehat{AKC}\) chung
\(\widehat{BAK}=\widehat{ACM}\) (cmt)
=> tg ABK đồng dạng với tg ACK (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{KB}{AK}=\dfrac{AK}{KC}\Rightarrow AK^2=KB.KC\)
Xét tg vuông AKM có
\(AK^2=KH.KM\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow KH.KM=KB.KC\)
