Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(\sqrt{a^2b^2}+\sqrt{b^2c^2}+\sqrt{c^2d^2}\right)^2=\left(ab+bc+cd\right)^2\) (áp dụng bđt Schwartz)
Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
Do đó, kết hợp cùng giả thiết suy ra đpcm
Ta có: \(a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=b=c=d=1\\a=b=c=d=0\end{cases}}\)
mà \(a^2+b^2+c^2+d^2=4\Rightarrow a=b=c=d=1\)
\(\Rightarrow ab+bc+cd+ad=1+1+1+1=4\)
Vậy.....
Zới mọi \(x,y>0\), áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(x^2+y^2=\frac{2xy\left(x^2+y^2\right)}{2xy}\le\frac{\frac{\left(2xy+x^2+y^2\right)^2}{4}}{2xy}=\frac{\left(x+y\right)^4}{8xy}\)
sử dụng kết quả trên ta thu đc các kết quả sau
\(a^2+c^2\le\frac{\left(a+c\right)^4}{8ac}=\frac{\left(a+c\right)^4bd}{8abcd}\le\frac{\left(a+c\right)^4\left(b+d\right)^2}{32abcd}\)
\(b^2+d^2\le\frac{\left(b+d\right)^4}{8bd}=\frac{\left(b+d\right)^4ac}{8abcd}\le\frac{\left(b+d\right)^4\left(c+a\right)^2}{32abcd}\)
Như zậy ta chỉ còn cần CM đc
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\ge\frac{\left(a+c\right)^2\left(b+d\right)^2\left[\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\right]}{32abcd}\)
BĐT trên tương đương zới
\(\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{abcd}\ge\frac{\left(a+c\right)^2\left(b+d\right)^2\left[\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\right]}{32abcd}\)
hay
\(\left(a+c\right)\left(b+d\right)\left[\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\right]\le32\)
đến đây bạn lại sử dụng kết quả trên ta có ĐPCM nhá
Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=1
Áp dụng BĐT Svacxơ:
\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{cd}+\dfrac{1}{da}\ge\dfrac{4}{ab+bc+cd+da}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\dfrac{4}{ab+bc+cd+da}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+c^2+d^2}\)
Ta cần c/m: \(\dfrac{4}{a^2+b^2+c^2+d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2\ge4\)
Áp dụng BĐT Svacxơ: \(\left(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}+\dfrac{d^2}{1}\right)^2\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^{2^2}}{16}\)
mà a+b+c+d=4 nên: \(\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^4}{16}\ge\dfrac{64}{16}=4=VP\)
Vậy ta có đpcm.
Lời giải:
a)
Bổ đề: Tam giác $ABC$ có \(\angle A=\alpha\) thì \(S_{ABC}=\frac{AB.AC\sin \alpha}{2}\)
Chứng minh: Từ $B$ kẻ đường cao $BH$ của tam giác
Khi đó:\(S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}\) (1)
Mà \(\frac{BH}{AB}=\sin \alpha\) (TH góc A tù thì ta có: \(\frac{BH}{AB}=\sin (180^0-\alpha)=\sin \alpha\) ) \(\Rightarrow BH=AB.\sin \alpha\) (2)
Từ (1).(2) suy ra \(S_{ABC}=\frac{AB.AC.\sin \alpha}{2}\)
--------------------------------------------
Quay lại bài toán:
a)
\(S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}=\frac{ab.\sin \angle ABC}{2}+\frac{cd.\sin \angle ADC}{2}\)
Vì \(\sin ABC, \sin ADC\leq 1\Rightarrow S_{ABCD}\leq \frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}=\frac{ab+cd}{2}\)
Ta có đpcm.
b)
* Vế đầu tiên:
\(2S=S_{ABC}+S_{ADC}+S_{BAD}+S_{BCD}\)
\(=\frac{ac\sin \angle ABC}{2}+\frac{cd\sin \angle ADC}{2}+\frac{ad.\sin \angle BAD}{2}+\frac{bc\sin \angle BCD}{2}\)
\(\leq \frac{ac}{2}+\frac{cd}{2}+\frac{ad}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ac+cd+ad+bc}{2}\)
\(\Leftrightarrow 4S\leq ac+cd+ad+bc=(a+c)(b+d)\) (đpcm)
* Vế sau:
\(p^2=\left(\frac{a+b+c+d}{2}\right)^2=\frac{[(a+c)+(b+d)]^2}{4}\)
Áp dụng bđt AM-GM: \((a+c)+(b+d)\geq 2\sqrt{(a+c)(b+d)}\)
\(\Rightarrow 4p^2=[(a+c)+(b+d)]^2\geq 4(a+c)(b+d)\)
\(\Rightarrow p^2\geq (a+c)(b+d)\) (đpcm)
c)
Theo phần b, ta đã chứng minh được:
\(S\leq \frac{(a+c)(b+d)}{4}\) (1)
Mặt khác, áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^2+b^2\geq 2ab\)
\(a^2+d^2\geq 2ad\)
\(b^2+c^2\geq 2bc\)
\(c^2+d^2\geq 2cd\)
Cộng theo vế: \(\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq 2(ab+ad+bc+cd)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq ab+ad+bc+cd=(a+c)(b+d)\) (2)
Từ \((1);(2)\Rightarrow S\leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\) (đpcm)
