Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
1. Ta có: \(x^2-2xy-x+y+3=0\)
<=> \(x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0\)
<=> \(\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11\)
Th1: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)
Th2: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)
Th3: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}\)
Th4: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)
Kết luận:...
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Lấy trên cộng dưới ta được
\(x^2+\frac{1}{y^2}+2\frac{x}{y}+x+\frac{1}{y}=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+x+\frac{1}{y}-6=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+\frac{1}{y}=2\\x+\frac{1}{y}=-3\end{cases}}\)
Giờ chỉ việc thế ngược lại là ra nhé
1. \(\hept{\begin{cases}x^2+2y^2=4x-1\\y^2+2x^2=4y-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2+2y^2\right)-\left(y^2+2x^2\right)=4x-1-\left(4y-1\right)\\\left(x^2+2y^2\right)+\left(y^2+2x^2\right)=4x-1+4y-1\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y^2-x^2=4x-4y\left(1\right)\\3\left(x^2+y^2\right)=4\left(x+y\right)-2\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ ( 1 ) \(\Rightarrow\left(y-x\right)\left(x+y\right)-4\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x+y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x+y=-4\end{cases}}\)
Với x = y thì thay vào ( 2 ), ta được : \(6x^2-8x+2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{1}{3}\end{cases}}\)
Với x + y = -4 thay vào ( 2 ), ta được : \(3\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=4.\left(-4\right)-2\)
\(\Leftrightarrow-6xy=-66\Leftrightarrow xy=11\)
Ta được hệ phương trình : \(\hept{\begin{cases}x+y=-4\\xy=11\end{cases}}\) mà hệ phương trình này vô nghiệm
2. Ta cần chứng minh BĐT : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) với a,b > 0
Thật vậy, xét hiệu :
\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)\(\ge\)0
Áp dụng BĐT trên, ta có : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
Tương tự : ....
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{x^3+z^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)
Vậy GTLN của biểu thức là 1 khi x = y = z = 1
Ta có \(\left(2x^2+y^2+3\right)\left(2+1+3\right)\ge\left(2x+y+3\right)^2\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{2x+y+3}\)
Mà \(\frac{1}{2x+y+3}=\frac{1}{x+x+y+1+1+1}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}+9\right)=\frac{\sqrt{6}}{36}.18=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Vậy \(MaxP=\frac{\sqrt{6}}{2}\)khi x=y=z=1
