K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 1 2018

ta có \(x\sqrt{a+y}+y\sqrt{a+x}=\sqrt{x}\sqrt{ax+xy}+\sqrt{y}\sqrt{ay+xy}\)

<=\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(ax+xy+ay+xy\right)}=\sqrt{b\left[a\left(x+y\right)+2xy\right]}=\sqrt{b.a.b+b2xy}\)

Mà \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow b.2xy\le\frac{b^2}{2}\)

=>...\(\le\sqrt{b^2a+\frac{b^2}{2}}=b\sqrt{a+\frac{1}{2}}\)

Dâu = xảy ra <=> x=y=b/2

^_^

17 tháng 1 2018

chúc bạn học tốtKết quả hình ảnh cho ảnh naruto

26 tháng 3 2022

Ta có: \(4\ge2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

    \(\Rightarrow x+y\le2\)

Ta có: \(P=\sqrt{x\left(14x+10y\right)}+\sqrt{y\left(14y+10x\right)}\)

              \(=\sqrt{\dfrac{24x\left(14x+10y\right)}{24}}+\sqrt{\dfrac{24y\left(14y+10x\right)}{24}}\le\dfrac{\dfrac{24x+14x+10y}{2}}{\sqrt{24}}+\dfrac{\dfrac{24y+14y+10x}{2}}{\sqrt{24}}\)

\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{24\left(x+y\right)}{2\sqrt{6}}\le\dfrac{24.2}{2\sqrt{6}}=4\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = 1

19 tháng 1 2022

a, \(\frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}\)

b, \(\frac{a}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}\)

c, \(\frac{x}{\sqrt{3x^3}}=\frac{x}{x\sqrt{3x}}=\frac{1}{\sqrt{3x}}=\frac{\sqrt{3x}}{3x}\)

d, \(\frac{4y^2}{\sqrt{2y^5}}=\frac{4y^2}{y^2\sqrt{2y}}=\frac{4}{\sqrt{2y}}=\frac{4\sqrt{2y}}{2y}=\frac{2\sqrt{2y}}{y}\)

25 tháng 1 2022

a)\(\dfrac{a}{\sqrt{a}}=\dfrac{a\sqrt{a}}{a}=\sqrt{a}\)                b) \(\dfrac{a}{\sqrt{ab}}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{\left(\sqrt{ab}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)                                              c) \(\dfrac{x}{\sqrt{3x^3}}=\dfrac{x\sqrt{3x}}{\sqrt{3x^3.\sqrt{3x}}}=\dfrac{x\sqrt{3x}}{\left(\sqrt{3x^2}\right)^2}=\dfrac{x\sqrt{3x}}{\left(3x^2\right)^2}=\dfrac{x\sqrt{3x}}{3x^2}=\dfrac{\sqrt{3x}}{3x}\)    

27 tháng 3 2019

Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c.1+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{a}{a+c}.\frac{b}{b+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)( bđt Cosi)

Tương tự như trên: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right);\sqrt{\frac{ac}{b+ac}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)\)

=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)

"=" Xảy ra khi và chỉ khi:

\(\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+c}\Leftrightarrow a\left(b+c\right)=b\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=b\)

\(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{b+c}\Leftrightarrow a=c\)

\(\frac{c}{a+c}=\frac{b}{a+b}\Leftrightarrow b=c\)

\(a+b+c=1\)

Từ các điều trên ta có đc: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy GTLN của P=3/2 khi và chỉ khi a=b=c=1/3

1. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + xy + y = 8. Tính GTNN của biểu thức \(A=x^3+y^3+x^2+y^2+5\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) 2. Cho a,b,c > 1. Tính GTNN của biểu thức \(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\) 3. Cho 2 số \(x,y\ne0\) thỏa mãn đẳng thức sau: \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\). Tính GTLN của biểu thức \(C=\frac{1}{xy}\) 4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Cmr:...
Đọc tiếp

1. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + xy + y = 8. Tính GTNN của biểu thức \(A=x^3+y^3+x^2+y^2+5\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

2. Cho a,b,c > 1. Tính GTNN của biểu thức \(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)

3. Cho 2 số \(x,y\ne0\) thỏa mãn đẳng thức sau: \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\). Tính GTLN của biểu thức \(C=\frac{1}{xy}\)

4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Cmr: \(D=\frac{a^4}{b^2\left(c+2\right)}+\frac{b^4}{c^2\left(a+2\right)}+\frac{c^4}{a^2\left(b+2\right)}\ge1\)

5. Cho a,b,c là các số dương không lớn hơn 1. Cmr: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)

6. Cho 2 số thực x,y thỏa mãn điều kiện \(x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\). Cmr: \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le x+y\le9+3\sqrt{15}\).

7. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Cmr: \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\).

8. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2015.\) Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\).

9. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(\left(x+y-1\right)^2=xy\). Tìm GTNN của biểu thức: \(M=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\).

10. Tìm m để phương trình \(mx^2-\left(5m-2\right)x+6m-5=0\) có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.

11. Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn \(x^2+y\ge1\). Tìm GTNN của biểu thức: \(N=y^2+\left(x^2+2\right)^2\).

12. Cho 9 số thực \(a_1,a_2,...,a_9\) không nhỏ hơn -1 và \(a_1^3+a_2^3+...+a_9^3=0\). Tính GTLN của biểu thức \(Q=a_1+a_2+...+a_9\).

13. cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Cmr: \(\sqrt{2015a+1}+\sqrt{2015b+1}+\sqrt{2015c+1}< 78\)

Mn làm giúp mk với. Mk đang cần gấp

15
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2019

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow 4\leq x+y\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)

\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)

Mà:

\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)

\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)

\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)

Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2019

Bài 2:

\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)

\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)

\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)

\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)

\(\Rightarrow B\geq 24\)

Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)