\(cho\)\(a,b,c>0\)\(2ab+5bc+6ac=6abc\)
\(Tìm\)\(GTNN\)\(Q=\frac{ab}{b+2a}+\frac{4bc}{b+4c}+\frac{9ac}{a+4c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 10 2019
\(2ab+5bc+6ca=6abc\Rightarrow\frac{5}{a}+\frac{6}{b}+\frac{2}{c}=6\)
\(P=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}}+\frac{4}{\frac{4}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{\frac{5}{a}+\frac{6}{b}+\frac{2}{c}}=6\)
\(P_{min}=6\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{2}{b}+\frac{1}{2c}=\frac{1}{3c}+\frac{4}{3a}\\\frac{5}{a}+\frac{6}{b}+\frac{2}{c}=6\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ trên tìm điểm rơi
11 tháng 11 2016
\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{4c+a}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4abc}{ac+2bc}+\frac{9abc}{4bc+ab}+\frac{4abc}{ab+ac}\)
\(\ge\frac{\left(2\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+2\sqrt{abc}\right)^2}{ac+2bc+4bc+ab+ab+ac}=\frac{49abc}{2ac+6bc+2ab}=7\)
11 tháng 11 2016
Xin bổ sung cách sau, bn có thể tham khảo thêm
:\(GT\Leftrightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{c}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{3}{a}=z\end{cases}}\) Ta có: \(2\left(x+y+z\right)=7\)
Suy ra \(C=\frac{4}{4y+\frac{2z}{3}}+\frac{9}{x+\frac{4z}{3}}+\frac{4}{x+y}\ge\frac{\left(2+3+2\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=7\) (Bdt Cauchy-Schwarz)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=c=1\end{cases}}\)
25 tháng 10 2015
2ab + 6bc + 2ac = 7abc => \(\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)
đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\) => 6x + 2y + 2z = 7; x; y; z > 0
Khi đó, C = \(\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}+\frac{4}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)
AD BĐT Cauchy ta có:
\(\left(\frac{4}{2x+y}+\left(2x+y\right)\right)+\left(\frac{9}{4x+z}+\left(4x+z\right)\right)+\left(\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right)\)
\(\ge2\sqrt{4}+2.\sqrt{9}+2.\sqrt{4}=14\)
=> \(\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)+ 7 > 14 => C > 7
Dấu "=" xảy ra <=> a = 2; b = 1; c = 1
Vậy Min C = 7
29 tháng 6 2016
2ab+6bc+2ac=7abc =>
Đặt => 6x + 2y + 2z = 7; x; y; z > 0
Khi đó C=
TA CÓ:
Dấu “=” xảy raóa=2;b=1;c=1
Vậy c=7
Xong rồi đó bạn hứa cho mik nha
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 7 2020
\(2ab+6bc+2ac=7abc\Rightarrow\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\)
\(A=\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}+\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(2+3+2\right)^2}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}+\frac{1}{c}+\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{49}{\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{49}{7}=7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=c=1\end{matrix}\right.\)
2 tháng 9 2016
Áp dụng Bat đẳng thức C.B.S dạng Angel
Dấu bằng xảy ra khi a=2;b=1;c=1
3 tháng 2 2020
Bài 1: Theo đề : \(2ab+6bc+2ac=7abc\) \(;a,b,c>0\)
Chia cả 2 vế cho \(abc>0\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}\)
Khi đó: \(M=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)
\(\Rightarrow M=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)\)
\(=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17\)
Khi: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=z=1\end{cases}}\Rightarrow M=17\)
\(Min_M=17\Leftrightarrow a=2;b=1;c=1\)
T
4 tháng 2 2020
ミ★๖ۣۜBăηɠ ๖ۣۜBăηɠ ★彡 chém bài khó nhất rồi nên em xin mạn phép chém bài dễ ạ.
2/\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2}{x\left(x+y+z\right)+yz}=\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\ge\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\frac{\left(2x+y+z\right)^2}{4}}=\Sigma_{cyc}\frac{4\left(y+z\right)}{2x+y+z}=\Sigma_{cyc}\frac{2\left(y+z-2x\right)}{2x+y+z}+6\)
\(=\Sigma_{cyc}\left(\frac{2\left(x+y+z\right)\left(y+z-2x\right)}{2x+y+z}-\frac{3}{2}\left(y+z-2x\right)\right)+6\)
\(=\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z-2x\right)^2}{2\left(2x+y+z\right)}+6\ge6\)
PN
17 tháng 7 2016
Ta có:
\(2ab+6bc+2ca=7abc\)
Chia cả hai vế của phương trình trên cho \(abc>0\), ta được:
\(\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\)
Đặt \(x=\frac{2}{a};\) \(y=\frac{1}{b};\) và \(z=\frac{1}{c}\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in Z_+\\3x+2y+2z=7\end{cases}}\)
Khi đó, ta biểu diễn biểu thức \(C\) dưới dạng ba biến \(x,y,z\) như sau:
\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{x+y}+\frac{9}{z+2x}+\frac{4}{y+z}\)
nên \(C=\left[\frac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right]+\left[\frac{9}{z+2x}+\left(z+2x\right)\right]+\left[\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right]-\left(3x+2y+2z\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho từng bộ số trong ngoặc luôn dương, ta có:
\(C\ge4+6+4-7=7\) (do \(3x+2y+2z=7\) )
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\frac{4}{x+y}=x+y\\\frac{9}{z+2x}=z+2x\\\frac{4}{y+z}=y+z\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=1\)
Do đó, \(a=2;\) và \(y=z=1\)
Vậy, \(GTNN\) của \(C\) đạt được là \(7\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)
29 tháng 5 2019
\(P=\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}+\frac{4}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
Theo Cauchy-Schwarz, ta có:
\(P\) ≥ \(\frac{49}{\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{49}{\frac{2ab+6bc+2ac}{abc}}=7\)
Do đó \(MinP:=7.\) Đẳng thức xảy ra khi
{\(\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}=\frac{3}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}=\frac{2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
\(2ab+6bc+2ac=7abc\)
Dễ thấy rằng \(\left(a,b,c\right)=\left(2,1,1\right)\) thỏa hệ trên.
Q= \(\frac{1}{\frac{b+2a}{ab}}+\frac{4}{\frac{b+4c}{bc}}+\frac{9}{\frac{a+4c}{ac}}\)=\(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}}+\frac{4}{\frac{1}{c}+\frac{4}{b}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}\)
Theo BĐT cauchy-schwarz Q>=\(\frac{\left(1+2+3\right)^2}{\frac{2}{c}+\frac{5}{a}+\frac{6}{b}}\)Mà từ gt suy ra 2/c +5/a +6/b=6 ( Chia cả 2 vế cho abc)
==> Q>=6, GTNN Q=6