Cho \(\Delta ABC\)đều, H là trực tâm, đường cao AD. M là 1 điểm bất kì trên cạnh BC. Gộ E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB,AC. Gọi I là trung điểm của AM. ID cắt EF tại K
a) CMR: tứ giác DEIF là hình thoi
b) CMR: Ba điểm M,H,K thẳng hàng
Bài này trong đề HSG, mọi người giúp mình với nhé
a) CMR: Tứ giác DEIF là hình thoi:
Xét \(\Delta\)ADM: ^ADM=900, I là trung điểm AM => DI=AI=IM (1)
Xét \(\Delta\)AEM: ^AEM=900, I là trung điểm AM => EI=AI=IM (2)
Từ (1) và (2) => DI=EI (*)
Ta có: DI=AI (cmt) => \(\Delta\)AID cân tại I => ^IAD=^IDA hay ^IAD+^IDA=2.^IAD (3)
Tường tự: ^IAE=^IEA => ^IAE+^IEA=2.^IAE (4)
Nhận thấy: ^DIM là góc ngoài \(\Delta\)AID => ^DIM=^IAD+^IDA, thay (3) vào ta đc:
^DIM=2.^IAD (5)
^EIM là góc ngoài \(\Delta\)AIE = >^EIM=^IAE+^IEA, thay (4) vào ta đc:
^EIM=2.^IAE (6)
Từ (5) và (6) => ^DIM+^EIM=2.^IAD+2.^IAE => ^DIE=2.(^IAD+^IAE)=2.^DAE.
Mà ^DAE=^BAC/2=600/2=300 => ^DIE=2.300=600 (**)
Từ (*) và (**) => \(\Delta\)DIE là tam giác đều.
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\Delta\)DIF đều => Tứ giác DEIF là hình thoi (đpcm).
b) Đề sai, mình không thấy M,H,K thẳng hàng
Sửa: CMR MH,DI.EF đồng quy.
Gọi S là trung điểm của AH. O là giao điểm của DI và EF (3*)
Xét \(\Delta\)AMH: I là trung điểm AM, S là trung điểm AH
=> IS là đường trung bình \(\Delta\)AMH => IS//MH (7)
Do tứ giác DEIF là hình thoi (cmt) => DI và EF cắt nhau tại trg điểm mỗi đường
=> O là trung điểm của DI và EF.
Xét \(\Delta\)SID: O là trung điểm DI, H là trung điểm SD (H là trực tâm và cũng là trọng tâm \(\Delta\)ABC)
=> OH là đường trung bình \(\Delta\)SID => OH//IS (8)
Từ (7) và (8) => M,O,H thẳng hàng (4*)
Từ (3*) và (4*) => DI,EF,MH đồng quy (đpcm).
Mình ghi nhầm, ID cắt EF tại k