K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 7 2015

\(\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+...-\frac{1}{\sqrt{2013}-\sqrt{2014}}+\frac{1}{\sqrt{2014}-\sqrt{2015}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{4}}{3-4}+...+\frac{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}{2014-2015}\)

\(=-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}+\sqrt{4}-\left(\sqrt{4}+\sqrt{5}\right)+...+\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\)

=\(-\sqrt{2}+\sqrt{2015}\)

15 tháng 10 2016

Chứng minh \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) rồi áp dụng với n = 1,2,....,2014

15 tháng 10 2016

ki+e

n ejmfjnhcy

1 tháng 12 2016

Xét dạng tổng quát: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}.\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\sqrt{n}.\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{n}.\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)< \left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(1+\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}\right)=2.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Thay vào đề bài ta có:

\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}}\)

\(< 2.\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)

\(< 2.\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)

\(< 2.\left(1-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)< 2\left(đpcm\right)\)

 

 

 

1 tháng 12 2016

Liên hợp

Y
13 tháng 6 2019

2.+ \(\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1>4n^2+4n\)

\(\Rightarrow2n+1>\sqrt{4n\left(n+1\right)}=2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

+ \(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Do đó : \(A< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{48}}-\frac{1}{\sqrt{49}}\right)\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}\)

Y
13 tháng 6 2019

1. + \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(< \frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\cdot2\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\left(n+1\right)}=2\cdot\frac{n+1-\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Do đó : \(A< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)

\(\Rightarrow A< 2\)

Bài 2 tạm thời chưa nghĩ ra :))

18 tháng 12 2016

tớ cũng không biết đâu .Nếu tìm ra cách giải thì nhắn tin cho tớ nha

21 tháng 12 2016

Bài này trước tiên ta phải đi chứng minh công thức:

                      \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

 Xong áp dụng là ra thui.
 

13 tháng 6 2019

Đặt B là tên biểu thức

Với mọi n thuộc N*, ta có: 

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\) (*)

Áp dụng (*), ta được: 

\(B< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)

\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)=2-\frac{1}{\sqrt{2013}}< 2\)