Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x² + y² + xy - x + y +...
Đọc tiếp
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x² + y² + xy - x + y + 2025.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 4 2015
2.M = 2x2 – 10x + 2y2 + 2xy – 8y + 4038 = (x2 – 10x + 25) +( y2 + 2xy + y2) + ( y2 – 8y + 16) + 3997
= (x-5)2 + (x+y)2 + (y - 4)2 + 3997 = N + 3997
Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi a: (ax+ by + cz)2 \(\le\) (a2+ b2 + c2). (x2 + y2 + z2). Dấu bằng xảy ra khi a/x = b/y = c/z
Ta có: [(5 - x).1 + (x+ y).1 + (y + 4).1]2 \(\le\) [(5 - x)2 + (x+y)2 + (y - 4)2 ].(1+ 1+1) = N .3 = 3.N
<=> 92 = 81 \(\le\) 3.N => N \(\ge\) 27 => 2.M \(\ge\) 27 + 3997 = 4024
=> M \(\ge\)2012
vậy Min M = 2012
khi 5 - x = x+ y = y + 4 => x = 4 ; y = -3
NH
1
20 tháng 4 2023
\(M=x^2+y^2-xy-x+y+1\)
\(4M=4x^2+4y^2-4xy-4x+4y+4\)
\(=\left(4x^2+y^2+1-4xy-4x+2y\right)+\left(3y^2+2y+3\right)\)
\(=\left(2x-y-1\right)^2+3\left(y^2+\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{8}{3}\)
\(=\left(2x-y-1\right)^2+3\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}\ge\dfrac{8}{3}\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\y+\dfrac{1}{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\\y=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(MinM=\dfrac{2}{3}\)
8 tháng 3 2017
ta biến đổi thành
x^3+y^3+xy=8-5xy
suy ra M_min thì 5xy_max
ta có 5xy <= \(5\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)
dấu "=" khi x=y=1
vật M_min=3
9L
1
5 tháng 11 2021
Bổ sung điều kiện: \(x,y>0\)
\(A=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}\\ A=\dfrac{8}{9}\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\dfrac{xy}{x^2+y^2}\\ A=\dfrac{8}{9}\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{x^2+y^2}{9xy}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT cosi:
\(A\ge\dfrac{8}{9}\cdot2\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}+2\sqrt{\dfrac{xy\left(x^2+y^2\right)}{9xy\left(x^2+y^2\right)}}=\dfrac{16}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{22}{9}\)
Vậy \(A_{min}=\dfrac{22}{9}\Leftrightarrow x=y\)
NN
0
HN
2
B
3 tháng 9 2021
Từ gt ta có x^2+y^^2=xy+1
=>P=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2-x^2y^2
=(xy+1)2-2x2y2-x2y2
=x2y2+xy+1-3x2y2=-2x2y2+xy+1
=......
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 9 2021
\(1=x^2+y^2-xy\ge2xy-xy=xy\Rightarrow xy\le1\)
\(1=x^2+y^2-xy\ge-2xy-xy=-3xy\Rightarrow xy\ge-\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{3}\le xy\le1\)
\(P=\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2-\left(xy\right)^2=\left(xy+1\right)^2-3\left(xy\right)^2=-2\left(xy\right)^2+2xy+1\)
Đặt \(xy=t\in\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)
\(P=f\left(t\right)=-2t^2+2t+1\)
\(f'\left(t\right)=-4t+2=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\)
\(f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{9}\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(1\right)=1\)
\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{3}{2}\) ; \(P_{min}=\dfrac{1}{9}\)
DV
0
HT
4
15 tháng 2 2018
\(M=x^2+y^2-xy-x+y+1\)
\(=\left(x^2-xy+\frac{1}{4}y^2\right)-\left(x-\frac{1}{2}y\right)+\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}y^2+\frac{1}{2}y+\frac{1}{12}\right)+\frac{2}{3}\)
\(=\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}y\right)+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(y^2+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}\right)+\frac{2}{3}\)
\(=\left(x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\forall x;y\)có GTNN là \(\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3};y=-\frac{1}{3}\)
16 tháng 2 2018
mình làm thế này có đúng không bạn?
ta có : \(M=x^2+y^2-xy-x+y+1\)
<=> \(2M=2x^2+2y^2-2xy-2x+2y+2\)
<=> \(2M=x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2+2y+1\)
<=>\(2M=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\)
<=> \(M=\frac{\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}\)\(\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-1=0\\y+1=0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x=y\\x=1\\y=-1\end{cases}}\)
Lời giải:
$M=x^2+y^2+xy-x+y+2025$
$2M=2x^2+2y^2+2xy-2x+2y+4050$
$=(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)+4048$
$=(x+y)^2+(x-1)^2+(y+1)^2+4048\geq 0+0+0+4048 = 4048$
$\Rightarrow M\geq 2024$
Vậy $M_{\min}=2024$
Giá trị này đạt tại $x+y=x-1=y+1=0$
$\Leftrightarrow x=1; y=-1$