Question

[Nguyễn Ngọc Thiện]

 Cho hình chữ nhật MNPQ. Gọi H là trung điểm của NP, E là giao điểm của MH và PQ.

a.      Chứng minh : tam giác NHM =  tam giác PHE.

b.     Chứng minh tứ giác MNEP là hình bình hành.

c.      Gọi K là điểm đối xứng của N qua P. Chứng minh tứ giác QNEK là hình thoi

Ai giúp mình làm câu này với ạ !

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

 a) Do MNPQ là hình chữ nhật (gt)

⇒ NP ⊥ PQ

⇒ NP ⊥ PE

Xét hai tam giác vuông: ∆NHM và ∆PHE có:

NH = HP (gt)

NHM = PHE (đối đỉnh)

⇒ ∆NHM = ∆PHE (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

b) Do ∆NHM = ∆PHE (cmt)

⇒ MN = PE (hai cạnh tương ứng)

Do MNPQ là hình chữ nhật (gt)

⇒ MN // PQ

⇒ MN // PE

Tứ giác MNEP có:

MN // PE (cmt)

MN = PE (cmt)

⇒ MNEP là hình bình hành

c) Do MNPQ là hình chữ nhật

⇒ MN = PQ

Mà MN = PE (cmt)

⇒ PQ = PE

⇒ P là trung điểm của QE

Do N và K đối xứng với nhau qua P (gt)

⇒ P là trung điểm của NK

Do NP ⊥ PQ (cmt)

⇒ NK ⊥ QE

Tứ giác QNEK có:

P là trung điểm của QE (cmt)

P là trung điểm của NK (cmt)

⇒ QNEK là hình bình hành

Mà NK ⊥ QE (cmt)

⇒ QNEK là hình thoi

Answer 2

[phùng khánh my]

a. Ta có:

- H là trung điểm của NP, nên NH = HM.

- E là giao điểm của MH và PQ, nên HE = EP.

- Ta cũng có NM = NP (do H là trung điểm của NP).

Vậy, ta có NHM ≅ PHE theo nguyên tắc cạnh - cạnh - cạnh.

b. Ta có:

- M là trung điểm của NE (do H là trung điểm của NP).

- H là trung điểm của NP (do H là trung điểm của NP).

Vậy, ta có MNEP là hình bình hành theo định nghĩa của hình bình hành.

c. Gọi K là điểm đối xứng của N qua P. Ta cần chứng minh tứ giác QNEK là hình thoi.

- Ta có NP = NK (do K là điểm đối xứng của N qua P).

- Ta cũng có NQ = NE (do MNEP là hình bình hành).

- Vì NP = NK và NQ = NE, nên ta có NPQ ≅ NKE theo nguyên tắc cạnh - cạnh - cạnh.

- Do đó, góc NQK = góc NEK.

- Nhưng góc NEK = góc NHE (do NHM ≅ PHE).

- Vậy, góc NQK = góc NHE.

- Ta cũng có góc QNK = góc ENH (do NHM ≅ PHE).

- Vậy, tứ giác QNEK có hai cặp góc đối nhau bằng nhau, nên QNEK là hình thoi theo định nghĩa của hình thoi.