Question

[Châu Trần]

Cho a,b,c là 3 số dương thỏa abc=1. Chứng minh rằng;

\(\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\ge0\)

(BĐT BCS)

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

\(\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}+1-\frac{a^2+b^2+c^2}{b^5+c^2+a^2}+1-\frac{a^2+b^2+c^2}{c^5+a^2+b^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^5+b^2+c^2}+\frac{1}{b^5+c^2+a^2}+\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ( chính là BĐT BCS) ta có:

\(\left(a^5+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a}+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\).Tương tự:

\(\frac{1}{b^5+a^2+c^2}\le\frac{\frac{1}{b}+a^2+c^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2};\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{\frac{1}{c}+a^2+b^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT=Σ\frac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Cần chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (Đúng)

Xảy ra khi \(a=b=c=1\)

-Lời giải được nhai lại từ Câu hỏi của LIVERPOOL - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath