cho hình thang KLMN (KN//LM) đường chéo cắt nhau tại E . Qua E kẻ đường thẳng song song vs KN cắt MN tại E. Chứng minh \(\frac{1}{EF}=\frac{1}{KN}+\frac{1}{LM}.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 6 2018
1) Ta có: ^MOB + ^BON = ^MON =900; ^NOC + ^BON = ^BOC = 900
=> ^MOB = ^NOC.
Xét \(\Delta\)OMB và \(\Delta\)ONC: ^MOB = ^NOC (cmt); OB=OC; ^OBM = ^OCN (=450)
=> \(\Delta\)OMB=\(\Delta\)ONC (g.c.g) => OM=ON (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\)MON có: ^MON=900; OM=ON => \(\Delta\)MON vuông cân tại O (đpcm).
2) Ta có: \(\Delta\)OMB=\(\Delta\)ONC (cmt) => BM=CN => AB-BM=BC-CN => AM=BN
Suy ra \(\frac{AM}{BM}=\frac{BN}{CN}\). Mà \(\frac{BN}{CN}=\frac{AN}{EN}\)(Hệ quả ĐL Thales)
Nên \(\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{EN}\)=> MN // BE (ĐL Thales đảo) (đpcm).
3) Do MN // BE (cmt) nên ^MNO = ^BKO = 450 (2 góc đồng vị).
Mà ^BCO = 450 => ^BKO = ^BCO =450 hay ^BKN = ^OCN => \(\Delta\)BNK ~ \(\Delta\)ONC (g.g)
\(\Rightarrow\frac{BN}{ON}=\frac{KN}{CN}\)hay \(\frac{BN}{KN}=\frac{ON}{CN}\)=> \(\Delta\)BON ~ \(\Delta\)KCN (c.g.c)
=> ^OBN = ^CKN => ^CKN=450 (Vì ^OBN=450)
Vậy ^BKC = ^BKO + ^CKN = 450+450 = 900 => CK vuông góc BE (đpcm).
4) KH // OM, OM vuông góc OK => KH vuông góc OK. Hay KH vuông góc NK
=> ^CKH = ^NKH - ^CKN = 900 - 450 =450 => KC là phân giác ^NKH
Suy ra \(\frac{KN}{KH}=\frac{CN}{CH}=\frac{BN}{BH}\)(ĐL đường phân giác trong tam giác) (1)
Dễ thấy KN là phân giác trong \(\Delta\)BKC => \(\frac{KC}{KB}=\frac{CN}{BN}=\frac{CH}{BH}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{KC}{KB}+\frac{KN}{KH}=\frac{BN+CH}{BH}\Leftrightarrow\frac{KC}{KB}+\frac{KN}{KH}+\frac{CN}{BH}=\frac{BN+CH+CN}{BH}\)
\(\Rightarrow\frac{KC}{KB}+\frac{KN}{KH}+\frac{CN}{BH}=\frac{BH}{BH}=1\)(đpcm).
3 tháng 2 2021
Em tham khảo nha.
Coi AB = 1, DC = k thì \(\frac{DO}{OB}=\frac{DC}{AB}=k\Rightarrow\frac{DO}{DB}=\frac{k}{k+1}\)
\(\Rightarrow OE=OF=\frac{k}{k+1}\Rightarrow EF=\frac{2k}{k+1}\)
Ta có \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{1}+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}\)
\(\frac{2}{EF}=\frac{2}{\frac{2k}{k+1}}=\frac{k+1}{k}\)
Vậy nên \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{EF}\)
22 tháng 7 2019
Gọi H là giao điểm của AC và BD
Vì AF//BC
Áp dụng hệ quả Talet :
=> HF/HB = AH/HC
Ta có : HE//HA = HB/HD
Mà AB//CD
=> HB/HA = HA/HC
=> HE /HA = HF/HB
=> EF//AB
=> EDCF là hình thang
Vì ABCD là hình thang cân
=> ADC = BCD
AD = BC
Xét ∆ACD và ∆BDC ta có :
DC chung
AD = BC
ADC = BCD
=> ∆ACD = ∆BDC (c.g.c)
=> BDC = ACD
=> EDCF là hình thang cân (dpcm)
b) Kéo dài EF sao cho lần lượt cắt AD tại G và BC tại O
Vì EF//DC (cmt)
=> GO//DC
Mà DC//AB
=> AB//GO//DC
=> GO là đường trung bình hình thang ABCD
=> GO = \(\frac{5\:+\:10}{2}=\:7,5\)cm
Mà GO là đường trung bình hình thang
=> G là trung điểm AD ; O là trung điểm BC
Vì GO//AB
=> GE//AB
Mà G là trung điểm AD
=> GE là đường trung bình ∆ABD
=> GE = \(\frac{5}{2}\)= 3,5 cm
Vì GO //AB
=> FO//AB
Mà O là trung điểm BC
=> FO là đường trung bình ∆ABC
=> FO = \(\frac{5}{2}=\:3,5\)cm
=> EF = 7,5 - 3,5 - 3,5 = 0,5cm
3 tháng 4 2017
BẠN DÙNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT ĐỂ C/M OM=ON
Vì OM // AB & OM // CD nên
\(\frac{OM}{AB}=\frac{DM}{AD}\&\frac{OM}{CD}=\frac{AM}{AD}\)
\(\Rightarrow\frac{OM}{AB}+\frac{OM}{CD}=\frac{DM}{AD}+\frac{AM}{AD}\)
\(\Leftrightarrow OM\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{DM+AM}{AD}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OM}\)(1)
TƯƠNG TỰ \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CB}=\frac{1}{ON}\)(2)
CỘNG VẾ VỚI VẾ CỦA (1) VÀ (2) TA CÓ:
\(2\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}\)MÀ OM=ON(C/M TRÊN) NÊN MN=2.OM
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{1}{OM}+\frac{1}{OM}=\frac{2}{OM}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{2.OM}=\frac{2}{MN}\left(ĐPCM\right)\)
