Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_1} = 15\\{u_4} - {u_2} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} - {u_1} = 15\\{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^4} - 1} \right) = 15\\{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^2} - 1} \right)\left( {{q^2} + 1} \right) = 15\left( 1 \right)\\{u_1}.q\left( {{q^2} - 1} \right) = 6\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Do \(q = \pm 1\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:
\(\frac{q}{{{q^2} + 1}} = \frac{6}{{15}} \Leftrightarrow 15q = 6\left( {{q^2} + 1} \right) \Leftrightarrow 15q = 6{q^2} + 6 \Leftrightarrow 6{q^2} - 15q + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{2}\\q = 2\end{array} \right.\)
Với \(q = \frac{1}{2}\) thế vào (2) ta được: \({u_1}.\frac{1}{2}\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = - 16\).
Với \(q = 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}.2\left( {{2^2} - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} = 1\).
Vậy có hai cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 2\).
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = - 16\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
b)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 65\\{u_1} + {u_7} = 325\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_1}.{q^2} + {u_1}.{q^4} = 65\\{u_1} + {u_1}.{q^6} = 325\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right) = 65\left( 1 \right)\\{u_1}\left( {1 + {q^6}} \right) = 325\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Chia vế với vế của (1) cho (2) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{1 - {q^2} + {q^4}}}{{1 + {q^6}}} = \frac{{65}}{{325}} \Leftrightarrow \frac{{1 - {q^2} + {q^4}}}{{1 + {q^6}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 1 + {q^6} = 5\left( {1 - {q^2} + {q^4}} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + {q^6} = 5 - 5{q^2} + 5{q^4} \Leftrightarrow {q^6} - 5{q^4} + 5{q^2} - 4 = 0\end{array}\)
Đặt \({q^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\). Khi đó phương trình có dạng:
\({t^3} - 5{t^2} + 5t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow {q^2} = 4 \Leftrightarrow q = \pm 2\)
Với \(q = - 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}\left( {1 + {{\left( { - 2} \right)}^6}} \right) = 325 \Leftrightarrow {u_1} = 5\).
Với \(q = 2\) thế vào (2) ta được: \({u_1}\left( {1 + {2^6}} \right) = 325 \Leftrightarrow {u_1} = 5\).
Vậy có hai cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = 2\).
‒ Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công bội \(q = - 2\).
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\{u_1}.{q^5} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\\left( {{u_1}.{q^4}} \right).q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\96q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 6\end{array} \right.\)
Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 6\) và công bội \(q = 2\).
b)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 60\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} + {u_1}.q = 60\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {{q^2} + 1} \right) = 60\left( 1 \right)\\{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Do \({u_1} = 0\) và \(q = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:
\(\frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} = \frac{{144}}{{60}} \Leftrightarrow \frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} =\frac{{12}}{{5}} \Leftrightarrow 5q\left( {{q^2} - 1} \right) = 12\left( {{q^2} + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow 5{q^3} - 12q = 5{q^2} + 12 \Leftrightarrow 5{q^3} - 12{q^2} - 5q - 12 = 0 \Leftrightarrow q=3\) thế vào (1) ta được \({u_1}=2\).
Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\).
a)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4{\rm{d}}} \right) = 0\\\frac{{4\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)}}{2} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right) = 14\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2{u_1} + 3{\rm{d}} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 8\) và công sai \(d = - 3\).
b)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) + \left( {{u_1} + 14{\rm{d}}} \right) = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6{\rm{d}} + {u_1} + 14{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 20{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10{\rm{d}} = 30\left( 1 \right)\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10{\rm{d}}\) thế vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}{\left( {30 - 10{\rm{d}} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 - 10{\rm{d}} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170 \Leftrightarrow {\left( {30 - 7{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 + {\rm{d}}} \right)^2} = 1170\\ \Leftrightarrow 900 - 420{\rm{d}} + 49{{\rm{d}}^2} + 900 + 60{\rm{d}} + {d^2} = 1170 \Leftrightarrow 50{{\rm{d}}^2} - 360{\rm{d}} + 630 = 0\\ \Leftrightarrow 5{{\rm{d}}^2} - 36{\rm{d}} + 63 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3\\d = \frac{{21}}{5}\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(d = 3 \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.3 = 0\).
Với \(d = \frac{{21}}{5} \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.\frac{{21}}{5} = - 12\).
Vậy có hai cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:
‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 0\) và công sai \(d = 3\).
‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = - 12\) và công sai \(d = \frac{{21}}{5}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_2} = \frac{{{u_1}}}{{1 + {u_1}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}\\{u_3} = \frac{{{u_2}}}{{1 + {u_2}}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\end{array}\)
Suy ra, \({u_n} = \frac{1}{n}\)
a.
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+\left(u_1+4d\right)-\left(u_1+2d\right)=10\\\left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=7\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=10\\2u_1+5d=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=36\\d=-13\end{matrix}\right.\)
b.
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+d+u_1+3d=5\\u_1^2+\left(u_1+4d\right)^2=25\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4d=5-2u_1\\u_1^2+\left(u_1+4d\right)^2=25\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow u_1^2+\left(u_1+5-2u_1\right)^2=25\)
\(\Rightarrow u_1^2+u_1^2-10u_1+25=25\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}u_1=0\Rightarrow d=\dfrac{5}{4}\\u_1=5\Rightarrow d=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
a: u1-2u4+u6=12 và u2+u5=8
=>u1-2u1-6d+u1+5d=12 và u1+d+u1+4d=8
=>d=12 và 2u1+5d=8
=>d=12 và 2u1=8-5d=8-60=-52
=>u1=-26 và d=12
b: u5-u2=3 và u3*u8=24
=>u1+4d-u1-d=3 và (u1+2d)(u1+7d)=24
=>d=1 và (u1+2)(u1+7)=24
=>d=1 và u1^2+9u1-10=0
=>d=1 và (u1=-10 hoặc u1=1)
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_2-u_3+u_5=10\\u_4+u_6=26\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d-u_1-2d+u_1+4d=10\\u_1+3d+u_1+5d=26\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+3d=10\\2u_1+8d=26\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\d=3\end{matrix}\right.\)
b)\(\left\{{}\begin{matrix}u_2-u_6+u_4=-7\\u_8-2u_7=2u_4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d-u_1-5d+u_1+3d=-7\\u_1+7d-2\left(u_1+6d\right)=2\left(u_1+3d\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1-d=-7\\-3u_1-11d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=\dfrac{-11}{2}\\d=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
c)\(\left\{{}\begin{matrix}u_7-u_3=8\\u_2.u_7=75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+6d-u_1-2d=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4d=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left(u_1+2\right)\left(u_1+12\right)=75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1^2+14u_1+24=75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left[{}\begin{matrix}u_1=3\\u_1=-17\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
a: u4=4 và u6=8
=>u1+3d=4 và u1+5d=8
=>-2d=-4 và u1+3d=4
=>d=2 và u1=4-3d=-2
b: u1-u3+u5=10 và u1+u6=17
=>u1-u1-2d+u1+4d=10 và u1+u1+5d=17
=>u1+2d=10 và 2u1+5d=17
=>u1=16 và d=-3
c: u1+u2=5 và u3*u5=91
=>u1+u1+d=5 và (u1+2d)(u1+4d)=91
=>2u1+d=5 và (u1+2d)(u1+4d)=91
=>d=5-2u1 và (u1+10-4u1)(u1+20-8u1)=91
=>d=5-2u1 và (-3u1+10)(-7u1+20)=91
(-3u1+10)(-7u1+20)=91
=>21u1^2-60u1-70u1+200=91
=>21u1^2-130u1+109=0
=>u1=1 hoặc u1=109/21
Khi u1=1 thì d=5-2u1=5-2=3
Khi u1=109/21 thì d=5-2u1=5-218/21=-113/21
Gọi số hạng đầu và công bội của cấp số nhân là: \(u_1;q\).
a) Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1q^4-u_1=15\\u_1q^3-u_1q=6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{u_1\left(q^4-1\right)}{u_1\left(q^3-q\right)}=\dfrac{15}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)}{q\left(q^2-1\right)}=\dfrac{15}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{q^2+1}{q}=\dfrac{15}{6}\)
\(\Leftrightarrow6\left(q^2+1\right)=15q\)\(\Leftrightarrow6q^2-15q+6=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\).
Với \(q=2\).
Suy ra: \(u_1\left(q^4-q\right)=15\Rightarrow u_1=\dfrac{15}{q^4-q}=\dfrac{15}{14}\).
Với \(q=\dfrac{1}{2}\)
Suy ra \(u_1=\dfrac{15}{q^4-q}=\dfrac{-240}{7}\).
\(a,\left\{{}\begin{matrix}u_3-u_1=20\\u_2+u_5=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(u_1+2d\right)-u_1=20\\\left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2d=20\\2u_1+5d=54\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=10\\u_1=2\end{matrix}\right.\)
Vậy cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=10\)
\(b,\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_3=0\\u_2+u_5=80\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+d+u_1+2d=0\\u_1+d+u_1+4d=80\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=-60\\d=40\end{matrix}\right.\)
Vậy cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=-60\) và công sai \(d=40\)
\(c,\left\{{}\begin{matrix}u_5-u_2=3\\u_8\cdot u_3=24\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+4d-u_1-d=3\\\left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=1\left(1\right)\\\left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Thế (1) vào (2), ta được:
\(\left(u_1+7\cdot1\right)\left(u_1+2\cdot1\right)=24\\ \Leftrightarrow u_1^2+9u_1-10=0\\ \Leftrightarrow\left(u_1-1\right)\left(u_1+10\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u_1=1\\u_1=-10\end{matrix}\right.\)
Vậy có hai cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn:
- Cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=1\) và công sai \(d=1\)
- Cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=-10\) và công sai \(d=1\)