cho a.b.c=1
và a+b+c>1/a+1/b+1/c
cmr (a-1)(b-1)(c-1)>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NK
2
11 tháng 8 2017
Ta có:\(a^2+b^2+c^2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2ab-2ac-2bc=2\)
Mà a+b+c=2
\(\Rightarrow4-2ab-2ac-2bc=2\)
\(\Rightarrow2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\Rightarrow-2\left(ab+ac+bc\right)=-2\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc=1\left(1\right)\)
Ta lại có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}\)
Từ (1) suy ra đc:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)
11 tháng 8 2017
theo bài ra ta có: a+b+c=2 => (a+b+c)^2 =4 => a^2 +b^2 +c^2 +2(ab+bc+ca)=4=> 2(ab+bc+ca)=2(vì a^2 +b^2 +c^2=2)
=> ab+bc+ca=1 =>\(\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ca}{abc}=\frac{1}{abc}\) (vì abc khác 0)
=> \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{abc}\)
Vậy với a+b+c=a^2+b^2+c^2=2 và abc khác 0 thì \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{abc}\)
PA
9 tháng 3 2017
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\) (ĐKXĐ: \(a\ne0;b\ne0;c\ne0;a+b+c\ne0\))
<=> \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{a+b+c}=0\)
<=> \(\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}+\dfrac{a+b+c}{c\left(a+b+c\right)}-\dfrac{c}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
<=> \(\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
<=> \(\left(a+b\right)\left[\dfrac{c\left(a+b+c\right)}{abc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right]=0\)
<=> \(\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0\) [vì c(a + b + c) + ab = ac + bc + c2 + ab = a(b + c) + c(b + c) = (a + c)(b + c)]
<=> (a + b)(b + c)(a + c) = 0
TN
9 tháng 3 2017
câu c : vì nhân hai vế ta được :
(a+b+c)x (ab+bc+ac)=abc
abc+a\(^2\)b+\(a^2\)c + b^2c+ab^2+abc+bc^2+ac^c+abc=abc
abc+a^2b+a^2c+ b^2c+ab^2+abc+bc^2+ac^c=0
(a+c)(a+b)(b+c)=0
13 tháng 4 2020
Áp dụng BDT svacxơ ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)
Vì \(a+b+c=1\)
Dấu ''='' khi a=b=c
Học tốt.
NH
0
BM
0
BM
2
12 tháng 1 2019
Từ\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}\)
\(\frac{a+b}{c}-1=\frac{b+c}{a}-1=\frac{c+a}{b}-1\)
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\)
ADTCDTSBN,ta có
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}=2\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) = \(\overline{\frac{\overline{bc}+\overline{ac}+\overline{ac}}{\overline{abc}}}\) = ab + bc + ca
=> a + b + c = ab + bc + ca
=> a + b + c - ab - bc - ca = 0
=> a + b + c - ab - bc - ac + abc - 1 = 0
=> (a - ab) + (b - 1) + (c - bc) + (abc - ac) = 0
=> - a(b - 1) + (b - 1) - c(b - 1) + ac(b - 1) = 0
=> (b - 1)(- a + 1 - c + ac) = 0
=> (b - 1)[( - a + 1) + (ac - c)] = 0
=> (b - 1)[ - (a - 1) + c(a - 1)] = 0
=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
=> a - 1 = 0 hoặc b - 1 = 0 hoặc c - 1 = 0
=> a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1
Vậy (a - 1)(b - 1)(c - 1) > 1
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow abc-ac-bc+c-ab+a+b-1>0\)
\(\Leftrightarrow-ab-bc-ab+a+b+c>0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>ab+ac+bc\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (thỏa mãn đề bài)
Vậy \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)