Question

[Thượng Huyền Tam - Akaza]

Chứng minh công thức tính số đường thẳng vẽ được với 2 trong 15 điểm khác biệt (không có 3 điểm nào thẳng hàng): 15.(n-1):2?

Answer 1

[Nguyễn Đắc Linh]

Công thức tính số đường thẳng vẽ được với 2 trong n điểm không thẳng hàng là:

(n-2) + (n-3) + ... + 1 (nếu n là số chẵn) (n-2) + (n-3) + ... + 2 (nếu n là số lẻ)

Để áp dụng công thức cho trường hợp n=15, ta có:

(15-2) + (15-3) + ... + 1 = 13 + 12 + ... + 1 = 91

Vậy số đường thẳng vẽ được với 2 trong 15 điểm khác biệt là 91.

Tuy nhiên, đáp án trong câu hỏi của bạn là 15.(n-1):2. Để chứng minh công thức này, ta sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Để vẽ được một đường thẳng, ta cần chọn 2 trong n điểm khác biệt. Có cách chọn 2 điểm là C(n,2) = n.(n-1)/2. Tuy nhiên, trong trường hợp này, các điểm phải thỏa điều kiện không có 3 điểm nào thẳng hàng. Vì vậy, có những cặp điểm không thể được chọn để vẽ đường thẳng.

Số cặp điểm không thể chọn là số đường thẳng có thể vẽ được trên 15 điểm mà không thỏa điều kiện không có 3 điểm thẳng hàng.

Để tính số cặp điểm không thể chọn, ta xét các đường chéo của một n-giác lồi đều có n đỉnh. Mỗi đường chéo nối hai đỉnh không kề nhau trên n-giác và sẽ cắt qua năm đường chéo khác. Do đó, mỗi đường chéo sẽ tạo ra 5 điểm khi cắt qua các đường chéo khác. Như vậy, nếu ta chọn một đường chéo của n-giác lồi đều và hai điểm nằm trên đường chéo đó, thì đường thẳng qua hai điểm này sẽ không được tính. Có tổng cộng n đường chéo, do đó có 5n điểm không được tính.

Số cặp điểm có thể chọn để vẽ đường thẳng là:

C(n,2) - 5n

= n.(n-1)/2 - 5n

= (n-1)(n-10)/2

Ở đây, n=15, do đó số cặp điểm có thể chọn là:

(15-1)(15-10)/2 = 56

Số đường thẳng có thể vẽ được là n/2 (vì đa số đường thẳng sẽ được vẽ từ hai phía của mỗi điểm), vì vậy:

Số đường thẳng có thể vẽ được với 2 trong 15 điểm khác biệt là:

56/2 = 28

Không giống với đáp án trong câu hỏi của bạn là 15.(n-1):2. Vì vậy, đáp án trong câu hỏi của bạn có thể không chính xác.

Answer 2

[Phạm Ngọc Cát Tường]

Công thức tính số đường thẳng vẽ được với 2 trong n điểm không thẳng hàng là:

(n-2) + (n-3) + ... + 1 (nếu n là số chẵn) (n-2) + (n-3) + ... + 2 (nếu n là số lẻ)

Để áp dụng công thức cho trường hợp n=15, ta có:

(15-2) + (15-3) + ... + 1 = 13 + 12 + ... + 1 = 91

Vậy số đường thẳng vẽ được với 2 trong 15 điểm khác biệt là 91.

Tuy nhiên, đáp án trong câu hỏi của bạn là 15.(n-1):2. Để chứng minh công thức này, ta sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Để vẽ được một đường thẳng, ta cần chọn 2 trong n điểm khác biệt. Có cách chọn 2 điểm là C(n,2) = n.(n-1)/2. Tuy nhiên, trong trường hợp này, các điểm phải thỏa điều kiện không có 3 điểm nào thẳng hàng. Vì vậy, có những cặp điểm không thể được chọn để vẽ đường thẳng.

Số cặp điểm không thể chọn là số đường thẳng có thể vẽ được trên 15 điểm mà không thỏa điều kiện không có 3 điểm thẳng hàng.

Để tính số cặp điểm không thể chọn, ta xét các đường chéo của một n-giác lồi đều có n đỉnh. Mỗi đường chéo nối hai đỉnh không kề nhau trên n-giác và sẽ cắt qua năm đường chéo khác. Do đó, mỗi đường chéo sẽ tạo ra 5 điểm khi cắt qua các đường chéo khác. Như vậy, nếu ta chọn một đường chéo của n-giác lồi đều và hai điểm nằm trên đường chéo đó, thì đường thẳng qua hai điểm này sẽ không được tính. Có tổng cộng n đường chéo, do đó có 5n điểm không được tính.

Số cặp điểm có thể chọn để vẽ đường thẳng là:

C(n,2) - 5n

= n.(n-1)/2 - 5n

= (n-1)(n-10)/2

Ở đây, n=15, do đó số cặp điểm có thể chọn là:

(15-1)(15-10)/2 = 56

Số đường thẳng có thể vẽ được là n/2 (vì đa số đường thẳng sẽ được vẽ từ hai phía của mỗi điểm), vì vậy:

Số đường thẳng có thể vẽ được với 2 trong 15 điểm khác biệt là:

56/2 = 28

Không giống với đáp án trong câu hỏi của bạn là 15.(n-1):2. Vì vậy, đáp án trong câu hỏi của bạn có thể không chính xác.