Cho tam giác abc cân tại a, D thuộc BC , từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt Ac tại F, cắt AB tại E. Vẽ các HCN DBHE, CDFK, I là tâm của HCN BDEH, J là tâm của HCN CDFK
C/m:
a)AIDJ và AHIJ là hình bình hành
b)A,K,H thẳng hàng và A là t/đ của HK
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 10 2021
a, Gọi I,J là tâm của hcn BDEH và CDFK
Do đó \(BI=ID\Rightarrow\widehat{BID}=180^0-2\widehat{IBD}\) (\(\Delta BID\) cân tại I)
Mà \(\Delta ABC\) cân tại A nên \(\widehat{BAC}=180^0-2\widehat{IBD}\)
Do đó \(\widehat{BID}=\widehat{BAC}\) mà 2 góc này ở vị trí đv nên ID//AJ
Cmtt ta được \(\widehat{DJC}=\widehat{BAC}\left(=180^0-2\widehat{ACB}\right)\) mà 2 góc này ở vị trí slt nên AI//DJ
Do đó IAJD là hbh nên \(AI=DJ=JK\) (J là trung điểm DK)
Và AI//DJ hay AI//JK
\(\Rightarrow AIJK\) là hbh
\(\Rightarrow IJ=AK\) và IJ//AK
Mà IJ là đtb tg HDK nên IJ//HK và \(IJ=\dfrac{1}{2}HK\)
\(\Rightarrow\) HK trùng AK hay H,A,K thẳng hàng và \(AK=\dfrac{1}{2}HK\)
Do đó A là trung điểm HK
Vậy trung điểm A của HK là điểm cố định ko phụ thuộc vào vị trí điểm D
b, Vì I,M là trung điểm HD,AD nên IM là đtb tg HAD
Do đó IM//AH
Mà IJ//AH nên IM trùng IJ hay I,M,J thẳng hàng
c, Xét tam giác DHK có:
HJ là trung tuyến (J là trung điểm DK)
DA là trung tuyến (A là trung điểm HK)
KI là trung tuyến (I là trung điểm DH)
Do đó AD,HJ,KI đồng quy tại trọng tâm tam giác DHK
d, Do AIDJ là hbh nên M là trung điểm AD cũng là trung điểm IJ
Gọi P là trung điểm BC thì AP cũng là đường cao và AP ko đổi
Kẻ MN⊥BC thì MN//AP
Do đó MN là đtb tg DAP
\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}AP\) và MN ko đổi
Vậy khi D thay đổi thì M chạy trên đg thẳng //BC và các BC 1 khoảng bằng \(\dfrac{1}{2}AP\) (không đổi)
a/
Xét tg ABC có
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân ABC) (1)
Xét HCN CDFK có
J là trung điểm của CF và DK (trong HCN 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
CF=DK (trong HCN 2 đường chéo bằng nhau)
=> JD=JC => tg JCD cân tại J \(\Rightarrow\widehat{JDC}=\widehat{ACB}\) (2) (góc ở đáy tg cân)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{JDC}\) Hai góc này ở vị trí đồng vị nên
=> BE//DK => AI//DJ (3)
Xét HCN BDEH có
I là trung điểm của BE và DH (trong HCN 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
BE=DH (trong HCN 2 đường chéo bằng nhau)
=> IB=ID => tg IBD cân tại I => \(\widehat{ABC}=\widehat{IDB}\) (4) (góc ở đáy tg cân)
Từ (1) và (4) \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{IDB}\) Hai góc này ở vị trí đồng vị
=> DH//AC => DI//AJ (5)
Từ (3) và (5) => AIDJ là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau là hbh)
=> AJ=ID (cạnh đối hbh AIDJ) mà ID=IH => AJ=IH (6)
Ta có
DH//AC (cmt) => IH//AJ (7)
Từ (6) và (7) => AHIJ là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)
b/ Nối A với K
BE//DK (cmt) => AI//JK (1)
Ta có AIDJ là hình bình hành (cmt) => AI=JD (cạnh đối hbh)
Mà JD=JK
=> AI=JK (2)
Từ (1) và (2) => AIJK là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)
=> AK//IJ (3)
Ta có AHIJ là hình bình hành (cmt) => AH//IJ (4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow AH\equiv AK\) (từ 1 điểm ngoài đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)
=> A; K; H thẳng hàng
Xét tg KHD có
JK=JD (t/c đường chéo HCN)
DH//AC => AJ//DH
=> AH=AK (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và song song với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)
=> A là trung điểm HK