Cho 3 số a, b, c thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 ≤ 18. Tìm GTNN của A = 3ab + bc + ac
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VV
1
28 tháng 6 2020
Tìm điểm rơi: ( a; b ; c ) = ( -3; 3; 0 ) hoặc ( 3; -3 ; 0 )
Xét: 2P + 3.18 \(\ge\) 2( 3ab + bc + ca ) + 3(a^2 + b^2 + c^2) = ( a+ b + c)^2 + 2(a+b)^2 + 2c^2\(\ge\)0 đúng
( nháp = k ( a+ b + c)^2 + m ( a + b)^2 + n c^2
k + m = 3
n +k = 3
2k + 2m = 6 <=> k = 1; m = 2; n = 2
2k = 2 )
Do đó: 2P \(\ge\)-3.18
=> P \(\ge\)-27
Dấu "=" xảy ra <=> a = - b ; c = 0 ; a^2 + b^2 + c^2 = 18 <=> a = 3; b = - 3; c = 0 hoặc a = -3; b = 3 và c = 0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 10 2021
\(a+b+c=0\) nên trong 3 số a;b;c phải có ít nhất 1 số dương
Do vai trò của 3 biến như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(c>0\)
\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)=\left(-c\right)^3+c^3-3ab\left(-c\right)=3abc=-6\)
\(\Rightarrow F=\dfrac{ab+bc+ca-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{-6}=\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{-6}=\dfrac{ab+bc+ca}{-2}\)
\(=\dfrac{-\dfrac{2}{c}+c\left(a+b\right)}{-2}=\dfrac{-\dfrac{2}{c}+c\left(-c\right)}{-2}=\dfrac{c^2}{2}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{c^2}{2}+\dfrac{1}{2c}+\dfrac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{8c^2}}=\dfrac{3}{2}\)
\(F_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-2;1;1\right)\) và các hoán vị
2 tháng 8 2020
đổi ẩn
\(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};z\right)\)\(\Rightarrow\)\(x+y+z=3\)
\(P=\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy+x+y}}\ge\Sigma\frac{2\sqrt{3}}{xy+x+y+3}\ge\frac{18\sqrt{3}}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\left(x+y+z\right)+9}=\sqrt{3}\)
dấuu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
12 tháng 11 2018
Gọi \(S=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Dễ thấy \(P-S=0\)
\(\Rightarrow2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Ta chứng minh:
\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2P\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=2\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Ta có:
\(2A+54\ge2\left(3ab+bc+ca\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b\right)^2+2c^2\ge0\)
\(\Rightarrow2A\ge-54\Rightarrow A\ge-27\)
Dấu = khi a=3;b=-3;c=0