Viết số \(2020^{2021}\) thành tổng của các số nguyên dương. Đem tổng các lập phương của tất cả các số hạng này chia cho 3, hỏi số dư thu được là bao nhiêu ? P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý, giúp đỡ em tham khảo với ạ!Em cám ơn nhiều...
Đọc tiếp
Viết số \(2020^{2021}\) thành tổng của các số nguyên dương. Đem tổng các lập phương của tất cả các số hạng này chia cho 3, hỏi số dư thu được là bao nhiêu ?
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý, giúp đỡ em tham khảo với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!
Gọi 3 số nguyên dương đó là a;b;c
Ta có a + b + c = 20202021
Khi đó P = a3 + b3 + c3 = a3 + b3 + c3 - 3abc + 3abc
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
= (a + b + c)3 - 3(ab + bc + ca)(a + b + c) + 3abc
= (a + b + c)3 - 3[(ab + bc + ca)(a + b + c) - abc)
Nhận thấy a + b + c = 20202021 = (3k + 1)2021
= B(3k) + 12021 = B(3k) + 1
=> a + b + c : 3 dư 1
=> (a + b + c)3 : 3 dư 1 (1)
mà 3[(ab + bc + ca)(a + b + c) - abc) \(⋮3\) (2)
Từ (1) và (2) => P : 3 dư 1
Em cám ơn thầy đã nhiệt tình giúp đỡ em ạ!