Cho tam giác ABC. Tìm M, N, P thuộc 3 cạnh tam giác ABC sao cho MN2 + NP2 + MP2 đạt giá trị nhỏ nhất.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
L
17 tháng 4 2022
Câu 1. Cho tam giác MNP cân tại M, nếu góc M=50độ thì góc ở đáy bằng
A. 130 độ
B. 40 độ
C. 100 độ
D. 65 độ
Câu 2. Cho tam giác MNP vuông tại M, theo định lý Pytago ta có:
A. NM2=MP2+NP2
B. NP2=MN2+MP2
C. MP2=MN2+NP2
D. NP2=MN2-MP2
Câu 3. Nếu tam giác ABC có AC>AB thì theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác
A. Góc A> góc B
B. Góc A> góc C
C. Góc C> góc A
D. Góc B> góc C
VB
1
VC
Vũ Cao Minh⁀ᶦᵈᵒᶫ ( ✎﹏IDΣΛ亗 )
CTV
VIP
8 tháng 11 2019
Ta có : \(2MN+2NP+2MP=116\Rightarrow2\left(MN+NP+MP\right)=116\)
\(\Rightarrow MN+NP+MP=116\div2=58\)
Vì tam giác \(ABC=\)tam giác \(MNP\)nên ta có :
\(AB=MN\) \(BC=NP\) và \(AC=MP\)từ đó ta suy ra
\(AB+BC+AC=58\). Vì \(AB;BC;AC\)lần lượt tỉ lệ thuận với 2 ; 3 ; 4
\(\Rightarrow\frac{AB}{2}=\frac{BC}{3}=\frac{AC}{4}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{AB}{2}=\frac{BC}{3}=\frac{AC}{4}=\frac{AB+BC+AC}{2+3+4}=\frac{58}{9}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{AB}{2}=\frac{58}{9}\Leftrightarrow AB=\frac{116}{9}\\\frac{BC}{3}=\frac{58}{9}\Leftrightarrow BC=\frac{58}{3}\\\frac{AC}{4}=\frac{58}{9}\Leftrightarrow AC=\frac{232}{9}=NP\end{cases}}\) Vậy ta đã tìm được số đo của AB ; AC và NP
NM
cho tam giác ABC. Tìm trên đường phân giác ngoài của góc A điểm M sao cho MB+MC đạt giá trị nhỏ nhất
0
LN
21 tháng 8 2017
GỌi E;F thứ tự là hình chiếu của B,C trên AM và S1;S2;S3 là diện tích các tam giác AMB;AMC;BMC Ta có:
AM.BE+AM.CFAM.BE+AM.CF \leq AM.BD+AM.CDAM.BD+AM.CD Hay 2S1+2S22S1+2S2 \leq AM.(BD+CD)=AM.BC
Dấu = xảy ra khi AM vuông góc BC
tương tự có: 2S1+2S32S1+2S3 \leq BM.AC
2S2+2S32S2+2S3 \leq CM.AB
\Rightarrow AM.BC+BM.AC+CM.AB \geq 4SABC4SABC
dấu = xảy ra khi M là trực tâm tam giác ABC
D là giao điểm của AM và BC
chúc bạn học tốt
ĐÚNG 100%
Bài toán này liên qua đến các đường đối trung và điểm Lemoine của tam giác, hy vọng em đã học nó rồi (nếu chứng minh tất cả từ đầu thì sẽ rất tốn thời gian)
Giả sử M, N, P lần lượt thuộc BC, CA, AB, đặt \(BC=a;CA=b;AB=c\)
Gọi G là trọng tâm MNP; H, I, K lần lượt là hình chiếu của G lên BC, CA, AB
Ta có:
\(MN^2+NP^2+MP^2=3\left(GM^2+GN^2+GP^2\right)\ge3\left(GH^2+GI^2+GK^2\right)\)
Lại có:
\(S_{GBC}+S_{GCA}+S_{GAB}=\dfrac{1}{2}\left(GH.a+GI.b+GK.c\right)=S_{ABC}\)
\(\Rightarrow4S^2=\left(GH.a+GI.b+GK.c\right)^2\le\left(GH^2+GI^2+GK^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow GH^2+GI^2+GK^2\ge\dfrac{4S^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow MN^2+NP^2+MP^2\ge\dfrac{12S^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{GH}{a}=\dfrac{GI}{b}=\dfrac{GK}{c}\) hay G là điểm Lemoine của tam giác ABC
\(\Rightarrow M;N;P\) là hình chiếu vuông góc của điểm Lemoine lên BC, CA, AB.
Con cảm ơn thầy ạ.