chung minh x4(y-z)+y4(z-x)+z4(x-y) > 0 voi x>y>z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
13 tháng 7 2023
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\) Thay x+y+z=0 vào
\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\) (1)
Ta có
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (2)
Bình phương 2 vế của (1)
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(xy+yz+xz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left[x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz\left(x+y+z\right)\right]\)
Do x+y+z=0 nên
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (3)
Thay (3) vào (2)
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) (đpcm)
HT
1
VD
1
N
8 tháng 9 2019
Ta co:\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\) ; \(xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\frac{27}{27}=1\)
\(P=x^4+y^4+z^4+12\left(1-z-y+yz-x+xz+xy-xyz\right)\)
\(=x^4+y^4+z^4+12-12xyz-12\left(x+y+z\right)+12\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}+12-12.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}-12.3+12\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\ge3+12-12.1-36+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\)
\(\ge-33+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{x+y+z}{xyz}\right)\)
\(=-33+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\ge-33+4\left(xy.\frac{1}{xy}+yz.\frac{1}{yz}+zx.\frac{1}{zx}\right)^2\)
\(=-33+4\left(1+1+1\right)^2=-33+36=3\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
Vay \(P_{min}=3\)khi \(x=y=z=1\)
NP
2
17 tháng 12 2020
Xét hiệu \(x^4-15x+14=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+3x+7\right)\le0\)
\(\Rightarrow x^4\le15x-14\).
Tương tự: \(y^4\le15y-14;z^4\le15z-14\).
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên kết hợp giả thiết x + y + z = 5 ta có:
\(P=x^4+y^4+z^4\le15\left(x+y+z\right)-42=33\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x, y, z) = (2, 2, 1) và các hoán vị.
Vậy...
17 tháng 12 2020
cho mình hỏi làm thế nào để bạn tìm ra đc cách xét hiệu x4-15x+14
có phưong pháp nào ko
nếu có thì bn giúp mk vs nhé
NT
1
7 tháng 7 2021
Có x+y+z=0
<=>(x+y+z)+(x+y+z)=0
<=>x+y+z+x+y+z=0
<=>2x+2y+2z=0
<=>(2x+2y+2z).2=0(1)
Tương tự có :(4x+4y+4z).2=0(2)
Từ (1)và(2) có (x2+y2+z2).2=2.(x4+y4+z4)
Chúc bạn học tốt nha
CH
24 tháng 10 2023
Với điều kiện x + y + z = 0, ta có thể giả sử x = a, y = -a và z = 0, với -1 ≤ a ≤ 1.
Thay các giá trị vào đa thức, ta có:
x^2 + y^4 + z^4 = a^2 + (-a)^4 + 0^4 = a^2 + a^4.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức này, ta xét đạo hàm của nó theo a:
f'(a) = 2a + 4a^3
Để tìm điểm cực tiểu, ta giải phương trình f'(a) = 0:
2a + 4a^3 = 0 a(1 + 2a^2) = 0
Vì -1 ≤ a ≤ 1, nên ta có hai giá trị a = 0 và a = ±1/√2.
Ta tính giá trị của đa thức tại các điểm cực tiểu:
f(0) = 0^2 + 0^4 = 0
f(1/√2) = (1/√2)^2 + (1/√2)^4 ≈ 0.8536
f(-1/√2) = (-1/√2)^2 + (-1/√2)^4 ≈ 0.8536
Như vậy, giá trị nhỏ nhất của đa thức là khoảng 0.8536, lớn hơn 2. Do đó, ta có thể kết luận rằng đa thức x^2 + y^4 + z^4 có giá trị k lớn hơn 2.
K
1
18 tháng 10 2020
4x(x+y)(x+y+z)(x+z) + y^2.z^2
= 4(x^2 + xy + xz)( x^2 + xy + xz + yz) + y^2.z^2
Đặt x^2 + yz + xz = t
=> 4x(x+y)(x+y+z)(x+z) + y^2.z^2 = 4t( t + yz) + y^2.z^2 = 4t^2 + 4tyz +y^2.z^2 = ( 2t + yz)^2 \(\ge\)0(ĐPCM)
Vậy 4t^2 + 4tyz +y^2.z^2 = ( 2t + yz)^2 \(\ge\)0 với moji x,y,z
TN
29 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Cauhy-Schwarz ta có:
\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{3}=\frac{\frac{1}{9}}{3}=\frac{1}{27}\)
Xảy ra khi x=y=z=1/3
Đặt \(P=x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(P=x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(=x^4\left(y-z\right)+y^4z-y^4x+z^4x-z^4y\)
\(=x^4\left(y-z\right)+y^4z-z^4y-y^4x+z^4x\)
\(=x^4\left(y-z\right)+yz\left(y^3-z^3\right)-x\left(y^4-z^4\right)\)
\(=x^4\left(y-z\right)+yz\left(y-z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)-x\left(y-z\right)\left(y^3+y^2z+yz^2+z^3\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left[x^4+yz\left(y^2+yz+z^2\right)-x\left(y^3+y^2z+yz^2+z^3\right)\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x^4+y^3z+y^2z^2+yz^3-xy^3-xy^2z-xyz^2-xz^3\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x^4-xz^3-xy^3+y^3z-xy^2z+y^2z^2-xyz^2+yz^3\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left[x\left(x^3-z^3\right)-y^3\left(x-z\right)-y^2z\left(x-z\right)-yz^2\left(x-z\right)\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left[x\left(x-z\right)\left(x^2+xz+z^2\right)-y^3\left(x-z\right)-y^2z\left(x-z\right)-yz^2\left(x-z\right)\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left[x\left(x^2+xz+z^2\right)-y^3-y^2z-yz^2\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x^3+x^2z+xz^2-y^3-y^2z-yz^2\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x^3-y^3+x^2z-y^2z+xz^2-yz^2\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left[\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+z\left(x^2-y^2\right)+z^2\left(x-y\right)\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left[\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+z\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z^2\left(x-y\right)\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left[x^2+xy+y^2+z\left(x+y\right)+z^2\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+xz+yz+z^2\right)\)
Đặt \(A=x^2+xy+y^2+xz+yz+z^2\)
\(A=\frac{2\left(x^2+xy+y^2+xz+yz+z^2\right)}{2}=\frac{2x^2+2xy+2y^2+2xz+2yz+2z^2}{2}\)
\(=\frac{\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2yz+z^2\right)+\left(x^2+2xz+z^2\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(x+z\right)^2}{2}\)
=>\(P=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x-y\right).\frac{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(x+z\right)^2}{2}\)
Ta có: \(x>y>z< =>\hept{\begin{cases}x>y\\y>z\\x>z\end{cases}}< =>\hept{\begin{cases}x-y>0\\y-z>0\\x-z>0\end{cases}}\)
Dễ thấy \(\left(x+y\right)^2\ge0;\left(y+z\right)^2\ge0;\left(x+z\right)^2\ge0\) với mọi x;y;z
\(=>P>0\) (đpcm)