Chứng minh rằng a = b =c nếu có một trong các điều kiện sau:
a) \(\left(a+b+c\right)\)\(^2\)= \(3\).(\(a^2+b^2+c^2\))
b) \(\left(a+b+c\right)^2\)= \(3.\left(ab+bc+ca\right)\)
Giúp mình với nhé
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
21 tháng 10 2019
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
24 tháng 7 2023
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-bc=x\\b^2-ca=y\\c^2-ab=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge0\)
\(\)Đẳng thức cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x,y,z, ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.z^3}=3xyz\)
=> Đẳng thức (1) luôn đúng với mọi x
Dấu = xảy ra khi: x=y=z hay \(a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab\)
và \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)\(\Rightarrow a=b=c\)
16 tháng 8 2018
a) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)
=> ĐPCM
b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3a^2+3b^2+3c^2\)
\(\Leftrightarrow-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2bc+2ac=0\)
\(\Leftrightarrow-\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)
=> ĐPCM
c) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)
=> ĐPCM
TN
25 tháng 6 2017
ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng
26 tháng 6 2017
Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.
26 tháng 2 2017
@Ngọc Minh Dương
Cách tách ra là cách của người học toán mức TB
Đề bắt C/m nhé
VT=0 hiển nhiên
VP=\(3\left[\left(a^2-ab\right)+\left(b^2-bc\right)+\left(c^2-ca\right)\right]=3\left[a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)\right]=3.\left[0+0+0\right]=3.0=0\)VT=VP=0
21 tháng 7 2017
Lưu Hiền cái cách của bạn --> đúng cái đề này không cần hỏi >>> cái người hỏi cần cách làm bằng bộ não không phải làm = chân tay
24 tháng 10 2016
Có :
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
\(=a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ac\)
\(=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ab\)
\(3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ac\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ab=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ac\)
Trừ cả 2 vế đi \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc;\)có :
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-bc-ca-ac=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ac\right)=0.2\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(a^2+c^2-2ab\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy ...
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2020
Nguyễn Xuân Đình Lực:
mình ghi rõ trên rùi, sắp xếp theo thứ tự luôn cho dễ nhìn kìa bạn:
Cặp 1: $a^3b$ và $abc^2$ tạo ra $a^2bc$
Cặp 2: $b^3c$ và $bca^2$ tạo ra $b^2ca$
Cặp 3: $c^3a$ và $cab^2$ tạo ra $c^2ab$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2020
Lời giải:
Ba số thực $a,b,c$ cần có thêm điều kiện không âm mới đúng.
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a(*)$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^3b+b^3c+c^3a)(abc^2+bca^2+cab^2)\geq (a^2bc+b^2ca+c^2ab)^2$
$\Rightarrow a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$
BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
27 tháng 6 2020
a,b,c>0
\(VP-VT=a^3b+b^3c+c^3a-abc\left(a+b+c\right)=abc\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{a}\ge0\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
tớ chịu = 32