K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 7 2015

trừ mỗi tỉ lệ cho 1 ta được:

\(\frac{2a+b+c+d}{a}-1=\frac{a+2b+c+d}{b}-1=\frac{a+b+2c+d}{c}-1=\frac{a+b+c+2d}{d}-1\)

\(\Rightarrow\frac{2a+b+c+d}{a}-\frac{a}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}-\frac{b}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}-\frac{c}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}-\frac{d}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

+Nếu a+b+c+d\(\ne\)0 thì a=b=c=d lúc đó 

M=1+1+1+1=4

+Nếu a+b+c+d=0 thì a+b=-(c+d);b+c=-(d+a);c+d=-(a+b);d+a=-(b+c) lúc đó:

M=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4

\(\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{a+b+2c+d+a+b+c+2d}{c+d}=\frac{2a+2b+3c+3d}{c+d}\)

\(=\frac{2\left(a+b\right)}{c+d}+\frac{3\left(c+d\right)}{c+d}=2.\frac{a+b}{c+d}+3\)

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{2a+b+c+d+a+b+c+2d}{a+d}=\frac{3a+3d+2c+2b}{a+d}\)

\(=\frac{3\left(a+d\right)}{a+d}+\frac{2\left(b+c\right)}{a+d}=3+2.\frac{b+c}{a+d}\)

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{2a+b+c+d+a+2b+c+d}{a+b}=\frac{3a+3b+2c+2d}{a+b}\)

\(=\frac{3\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{2\left(c+d\right)}{a+b}=3+\frac{c+d}{a+b}.2\)

\(\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+2b+c+d+a+b+2c+d}{b+c}=\frac{3b+3c+2a+2d}{b+c}\)

\(=\frac{3\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{2\left(a+d\right)}{b+c}=3+\frac{a+d}{b+c}.2\)

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{5\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=5\)

\(\Rightarrow\frac{2a+b+c+d}{a}+\frac{a+2b+c+d}{b}+\frac{a+b+2c+d}{c}+\frac{a+b+c+2d}{d}=5.4=20\)

\(\Rightarrow3+\frac{a+b}{c+d}.2+3+\frac{b+c}{a+d}.2+3+\frac{c+d}{a+b}.2+3+\frac{d+a}{b+c}.2=20\)

\(\Rightarrow2.\left(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\right)=20-3-3-3-3\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{b+a}+\frac{d+a}{b+c}=8:2=4\)

vậy \(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=4\)

 

12 tháng 8 2016

Xét riêng lần lượt với các biểu thức   \(R=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)  và  

\(Q=\frac{b+c+d}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d},\)  ta có:

\(\text{*) }\) Ta biến đổi biểu thức  \(R\)  bằng cách cộng mỗi biểu thức trong nó với  \(1,\)  cùng lúc đó, ta tạo được một nhân tử mới cho  \(R\)  để phục vụ việc chứng minh. Khi đó,  \(R\)  sẽ mang dạng mới sau:

\(R=\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)-4\)

nên   \(R=\frac{1}{3}.\left[3\left(a+b+c+d\right)\right]\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)-4\)

Đặt  \(x=b+c+d;\)  \(y=a+c+d;\)  \(z=a+b+d;\)  và  \(t=a+b+c\)

Không quên đặt điều kiện cho các ẩn số vừa đặt, ta có:

\(\hept{\begin{cases}x,y,z,t>0\\x+y+z+t=3\left(a+b+c+d\right)\end{cases}}\)

Ta biểu diễn lại các biểu thức  \(R\)  theo các biến vừa mới nêu sau đây:

\(R=\frac{1}{3}\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)-4\)

Mặt khác,  theo một kết quả quen thuộc được đúc kết từ bất đẳng thức  \(Cauchy-Schwarz\)  ta được:

\(\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\ge16\)

Và bằng phép chứng minh theo bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho  \(4\) số dương, ta dễ dàng đi đến kết luận rằng bất đẳng thức ở trên là một bất đẳng thức luôn đúng với mọi  \(x,y,z,t>0\)  

Khi đó,  \(R\ge\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}\)

\(\text{*) }\)  Tương tự lập luận cho biểu thức  \(Q,\)  ta cũng có đánh giá khá thú vị cho nó, điển hình:

\(Q\ge12\)

Mà  \(S=R+Q\ge\frac{4}{3}+12=5\frac{1}{3}\)

Cuối cùng, với  \(a=b=c=d>0\)  (thỏa mãn điều kiện) thì  \(S=5\frac{1}{3}\)  nên suy ra  \(5\frac{1}{3}\)  là giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \(S\)

13 tháng 8 2016

\(\frac{4}{3}+12=\frac{40}{3}\) chu

13 tháng 2 2018

Cộng thêm 1 vào mỗi đẳng thức, ta được:

\(\frac{a}{b+c+d}+1=\frac{b}{a+c+d}+1=\frac{c}{a+b+d}+1=\frac{d}{a+b+c}+1\)

\(\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)

Vì các tử số của mỗi tỉ số bằng nhau nên các mẫu số của mỗi tỉ số cũng bằng nhau

\(\Rightarrow b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\)

\(\Rightarrow M=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{a+d}{b+c}=1+1+1+1=4\)

10 tháng 11 2016

giúp mình với mình k lm được

10 tháng 11 2016

Từ biểu thức trên , ta thấy a = b = c = d 

Vậy a + b = c + d = a = c = d + b = ...

Vậy biểu thức dưới được rút gọn là :

1 + 1 + 1 + 1 

= 4

đ/s : 4

6 tháng 7 2021

1, \(\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\dfrac{1}{3}\)

Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}3a=b+c+d\left(1\right)\\3b=a+c+d\left(2\right)\\3c=a+b+d\left(3\right)\\3d=a+b+c\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow3\left(a+b\right)=a+b+2c+2d\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=2\left(c+d\right)\Leftrightarrow a+b=c+d\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=1\)

Tương tự cũng có: \(\dfrac{b+c}{a+d}=1;\dfrac{c+d}{a+b}=1;\dfrac{d+a}{b+c}=1\)

\(\Rightarrow A=4\)

2, Có \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{14}{56}=\dfrac{1}{4}\)

Do đó \(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{1}{4};\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{1}{4};\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right),\left(-1;-2;-3\right)\)

6 tháng 7 2021

Bài 2 :

a, Ta có : \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

b, Ta có : \(\dfrac{2x+1}{5}=\dfrac{3y-2}{7}=\dfrac{2x+3y-1}{5+7}=\dfrac{2x+3y-1}{6x}\)

\(\Rightarrow6x=12\)

\(\Rightarrow x=2\)

\(\Rightarrow y=3\)

Vậy ...

24 tháng 9 2016

\(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\)\(\frac{d}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow1+\frac{a}{b+c+d}=1+\frac{b}{a+c+d}=1+\frac{c}{a+b+d}=1+\frac{d}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)

Mà: \(a+b+c+d\ne0\Rightarrow b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\)

\(\Rightarrow A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=\frac{a+a}{a+a}+\frac{b+b}{b+b}+\frac{c+c}{c+c}+\frac{d+d}{d+d}\)

\(\Rightarrow A=1+1+1+1=4\)

24 tháng 9 2016

số đo slaf

nhe sbn

bài dài 

lắm mình

vhir tiện ghi

thế này thôi