Cho các số dương x,y thỏa mãn \(x+2y\le2\), tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{1}{x^2+4y^2}+\frac{1}{2xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 5 2021
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x}{2};\frac{8}{y}\) ta có:
\(\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\)
\(\Leftrightarrow2\ge4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow0< \sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow0< \frac{x}{y}\le\frac{1}{4}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\left(0< t\le\frac{1}{4}\right)\Rightarrow-t\ge\frac{-1}{4}\)
Ta có: \(K=t+\frac{2}{t}=32t+\frac{2}{t}-31t\ge2\sqrt{32t.\frac{2}{t}}-31t\ge16-\frac{31}{4}=\frac{33}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\)
Vậy GTNN của K là \(\frac{33}{4}\) tại x=2;y=8
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
25 tháng 5 2021
\(2\ge\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{y}{x}\ge4\)
\(K=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{31y}{16x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{16x}}+\frac{31}{16}.4=\frac{33}{4}\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{8}\\\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=2\\\frac{x}{y}=\frac{y}{16x}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\).
PN
21 tháng 2 2021
Từ giả thiết \(=>x+y=2xy\)
Áp dụng bđt Cô-si ta có :
\(x^4+y^2\ge2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\)
\(y^4+x^2\ge2\sqrt{y^4x^2}=2y^2x\)
Khi đó : \(C\le\frac{1}{2}\left[\frac{1}{xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{xy\left(x+y\right)}\right]=\frac{1}{2}.\frac{2}{xy\left(x+y\right)}=\frac{1}{xy\left(x+y\right)}\)
đến đây dễ rồi ha
PN
21 tháng 2 2021
oke làm tiếp
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}< =>2\ge\frac{4}{x+y}< =>x+y\ge2\)
Mặt khác \(C\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)}=\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)}{2}.\left(x+y\right)}=\frac{2}{\left(x+y\right)^2}\le\frac{1}{2}\)
Vậy GTLN của C = 1/2 đạt được khi x=y=1
1 tháng 2 2018
1)
\(2x^2-2xy+5y^2-2x-2y+1=0.\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\right)+\left(x^2-4xy+4y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+\left(2y-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-1=0\\2y-x=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\2y-x=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{3}\\x=\frac{2}{3}\end{cases}}}\)
7 tháng 3 2021
\(P=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1\div16}{16x\div16}+\frac{1\div4}{4y\div4}+\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(P=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left(\frac{7}{4}\right)^2}{1}=\frac{49}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1}{x+y+z}=\frac{21}{16}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{21}\\y=\frac{4}{21}\\z=\frac{16}{21}\end{cases}}\)
Vậy MinP = 49/16
Đặt \(2y=a\)thì ta được
\(P=\frac{1}{x^2+a^2}+\frac{1}{xa}=\left(\frac{1}{x^2+a^2}+\frac{1}{2xa}\right)+\frac{1}{2xa}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+a^2+2ax}+\frac{2}{\left(x+a\right)^2}=\frac{6}{\left(x+a\right)^2}\ge\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)