Question

[Lê Song Phương]

Tìm lỗi sai trong phép chứng minh \(3=0\)sau:

Giả sử x là 1 nghiệm của pt \(x^2+x+1=0\)

Nhận thấy \(x=0\)không phải là nghiệm của pt nên ta có thể chia cà 2 vế của pt này cho x, khi đó ta được:

\(\frac{x^2+x+1}{x}=\frac{0}{x}\)\(\Leftrightarrow x+1+\frac{1}{x}=0\)(*)

Từ pt \(x^2+x+1=0\)\(\Leftrightarrow x+1=-x^2\), thay vào (*), ta có:

\(-x^2+\frac{1}{x}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=x^2\)\(\Leftrightarrow1=x^3\)\(\Leftrightarrow x=1\)

Thay vào pt đã cho, ta có \(1^2+1+1=0\)\(\Leftrightarrow3=0\)

Vậy ta có đpcm.

Answer 1

[doraemon]

Ta có:

\(x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1\)\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{3}>0\)

Vì \(x^2+x+1>0\)nên phương trình đã cho vô nghiệm, mà nó đã vô nghiệm thì \(x^2+x+1\ne0\)với mọi x, thế nên ta sẽ có: \(1^2+1+1=3\ne0\)với x = 1

Ở đây với x thuộc R thì ko có giá trị nào thỏa pt đã cho.
=> Sai ở chỗ sử dụng phương trình vô nghiệm để thế x = 1 vào

(Với ở đây mình nghĩ sẽ sai cả bài vì ko thể dùng phương trình vô nghiệm để biến đổi được vì ta luôn có \(x^2+x+1\ne0\))

Answer 2

[Lê Song Phương]

Bài này sai ở chỗ thay \(x+1=-x^2\) vào pt thứ hai \(x+1+\frac{1}{x}=0\).
Khi bạn làm điều này, bạn đã vô tình làm cho phát sinh ra nghiệm ngoại lai (một nghiệm khác không phải là nghiệm của pt ban đầu \(x^2+x+1=0\))

Pt ban đầu \(x^2+x+1=0\)không có nghiệm thực, nhưng có 2 nghiệm ảo là \(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2};\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)

Khi biến đổi tương đương sang pt thứ hai \(x+1+\frac{1}{x}=0\), pt vẫn chỉ có 2 nghiệm trên.

Nhưng khi thay \(x+1=-x^2\) vào pt thứ hai \(x+1+\frac{1}{x}=0\), sẽ được phương trình \(-x^2+\frac{1}{x}=0\)có thêm 1 nghiệm nữa là \(x=1\)hoàn toàn không phải là nghiệm của 2 pt ban đầu.

Mình đăng câu hỏi này mong các bạn cẩn thận trong các phép biến đổi tương đương dễ làm phát sinh ra nghiệm ngoại lai, tránh gặp phải những kết quả vô lí như phép chứng minh \(3=0\)vừa rồi.