Question

[Hà Thị Thanh Xuân]

1 cho x/a+y/b=1 và xy/ab = -2 Tính\(\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}\)

2 Cho a+b+c = 0 Tính giá trị bt:

P=\(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{a^2+c^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\)

3Cho \(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b};x^2+y^2=1\).Chứng minh rằng

a)bx² = ay²

b)\(\frac{x^{2008}}{a^{1004}}+\frac{y^{2008}}{b^{1008}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1004}}\)

Answer 1

[Phước Nguyễn]

Đặt  \(u=\frac{x}{a};\)  và  \(v=\frac{y}{b}\)  \(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}u,v\in Z\\u+v=1\\uv=-2\end{cases}}\)

Khi đó, ta có:

\(u+v=1\)

nên  \(\left(u+v\right)^3=1\)  \(\Leftrightarrow\)  \(u^3+v^3+3uv\left(u+v\right)=1\)

Do đó,  \(u^3+v^3=1-3uv\left(u+v\right)=1+6=7\)

Vậy,  \(\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}=7\)

Answer 2

[Phước Nguyễn]

\(ĐK:\)  \(a,b,c\ne0\)

Ta có: 

\(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(a+b=-c\)

\(\Rightarrow\)  \(\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a^2+b^2+2ab=c^2\)

nên    \(a^2+b^2-c^2=-2ab\)

Tương tự với vòng hoán vị  \(b\rightarrow c\rightarrow a\)  ta cũng suy ra được:

\(\hept{\begin{cases}b^2+c^2-a^2=-2bc\\c^2+a^2-b^2=-2ca\end{cases}}\)

Khi đó, biểu thức  \(P\)  được viết lại dưới dạng:

\(P=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=0\) (do \(a,b,c\ne0\)  )