Question

[Nguyễn Hải Vân]

Cho hàm số \(y=-x^3-3mx^2+6mx+2 \). Tìm

a) y'=0 có 2 nghiệm phân biệt nhỏ thua 1

b) y'=0  có 2 nghiệm cùng dấu

c) y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x-x₂=1

d) y'<0 với mọi x thuộc R

e) y'<0 với mọi x thuộc (-∞;-0)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(y'=-3x^2-6mx+6m=3\left(-x^2-2mx+2m\right)\)

Đặt \(f\left(x\right)=-x^2-2mx+2m\)

a. \(y'=0\) có 2 nghiệm \(x_1\le x_2< 1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2+2m\ge0\\-f\left(1\right)=1>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}=-2m< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le-2\)

b. \(y'=0\) có 2 nghiệm cùng dấu

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2+2m\ge0\\x_1x_2=-2m>0\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le-2\)

c. \(\Delta'=m^2+2m>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m< -2\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-2m+1}{2}\\x_2=\dfrac{-2m-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(x_1x_2=-2m\Rightarrow\left(\dfrac{-2m+1}{2}\right)\left(\dfrac{-2m-1}{2}\right)=-2m\)

\(\Leftrightarrow4m^2-1=-8m\Rightarrow4m^2+8m-1=0\Rightarrow...\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

d.

\(y'< 0\) ;\(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1< 0\\\Delta'=m^2+2m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-2< m< 0\)

e.

\(y'< 0\) ; \(\forall x< 0\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2mx+2m< 0\) ;\(\forall x< 0\)

TH1: \(\Delta'=m^2+2m< 0\Leftrightarrow-2< m< 0\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\0< x_1\le x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+2m\ge0\\x_1+x_2=-2m>0\\x_1x_2=-2m>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le-2\)