Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường cao vẽ từ A của △ABC. Chứng minh rằng: KH.KA ≤ \(\dfrac{BC^2}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 3 2016
e làm chứng minh dc góc NPI = BAC=60 độ, thế e ghi tương tự vs góc PNI=BAC=60 độ dc k ạ
AT
14 tháng 7 2021
a) chắc đề hỏi là tứ giác BHCD là hình gì chứ ko có điểm K
Vì AD là đường kính \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\angle ACD=90\\\angle ABD=90\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD\bot AC\\BD\bot AB\end{matrix}\right.\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}BH\bot AC\\CH\bot AB\end{matrix}\right.\Rightarrow\) \(CD\parallel BH,BD\parallel CH\) \(\Rightarrow BHCD\) là hình bình hành
b) Vì BHCD là hình bình hành có I là trung điểm BC
\(\Rightarrow H,I,D\) thẳng hàng và I cũng là trung điểm HD
Xét \(\Delta AHD\) có O là trung điểm AD,I là trung điểm HD
\(\Rightarrow OI\) là đường trung bình \(\Rightarrow OI=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow AH=2OI\)
c) AI cắt HO tại G'.
Vì \(OI\parallel AH\) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{OI}=\dfrac{AG'}{G'I}\Rightarrow\dfrac{AG'}{G'I}=2\Rightarrow\dfrac{AG'}{AI}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow G'\) là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow G\equiv G'\Rightarrow\) đpcm
Vì \(OI\parallel AH\) \(\Rightarrow\dfrac{GH}{GO}=\dfrac{AH}{OI}=2\Rightarrow GH=2GO\)
d) Kẻ \(AF\bot HO\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{AOG}=\dfrac{1}{2}.AF.OG\\S_{AHG}=\dfrac{1}{2}.AF.HG\end{matrix}\right.\)
mà \(GH=2GO\Rightarrow S_{AHG}=2S_{AOG}\)
NN
26 tháng 3 2020
Xét \(\Delta ABK\)và \(\Delta C\text{D}K\)có:
\(\widehat{A_1}=\widehat{C_2}\)( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD )
\(\widehat{AKB}=\widehat{CK\text{D}}\)( đối đỉnh )
\(\Rightarrow\Delta ABK~\Delta C\text{D}K\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{KA}{KB}=\frac{KC}{K\text{D}}\Rightarrow KA.K\text{D}=KB.KC\)
b) Kéo dài CH và BH cắt AB và AC lần lượt tại N và M
Xét \(\Delta HC\text{D}\) có:
CK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
\(\Rightarrow\Delta HC\text{D}\)cân tại C
\(\Rightarrow\)CK là đường phân giác của \(\widehat{HC\text{D}}\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)
Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta CKH\)có:
\(\widehat{AHM}=\widehat{CHK}\)( đối đỉnh )
\(\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\)( cùng bằng \(\widehat{C_2}\))
\(\Rightarrow\Delta AMH~\Delta CKH\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{CKH}=90^0\)
Hay \(CM\perp AB\)
Xét \(\Delta ABC\)có:
2 đường cao cắt nhau tại H
\(\Rightarrow\)H là trực tâm của tam giác ABC
c) Ta có: DE // BC Mà \(A\text{D}\perp BC\Rightarrow DE\perp A\text{D}\Rightarrow\widehat{FDE}=90^0\)
Xét \(\Delta AFB\)Và \(\Delta\text{E}FD\)có:
\(\widehat{F_1}=\widehat{F_2}\)( đối đỉnh )
\(\widehat{A_1}=\widehat{FED}\)( góc nội tiếp cùng chắn cung BD )
\(\Rightarrow\Delta\text{A}FB~\Delta\text{E}FD\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABF}=\widehat{E\text{D}F}=90^0\)
Xét tam giác ABE nội tiếp đường tròn ( O, R )
có: \(\widehat{ABE}=90^0\)\(\Rightarrow\)AE là đường kính của ( O, R )
\(\Rightarrow\)A , O , E thẳng hàng
-Sửa đề: Đoạn BC không đổi.
-BH cắt AC tại D.
-Xét △ABC có:
H là trực tâm, AK là đường cao.
\(\Rightarrow\)H∈AK, BH là đường cao.
Mà BH cắt AC tại D (gt)
\(\Rightarrow\)BH⊥AC tại D.
-Xét △HBK và △HAD có:
\(\widehat{BKH}=\widehat{HDA}=90^0\)
\(\widehat{BHK}=\widehat{AHD}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\)△HBK∼△HAD (g-g).
-Xét △HBK và △CAK có:
\(\widehat{HKB}=\widehat{CKA}=90^0\)
\(\widehat{HBK}=\widehat{KAC}\)(△HBK∼△HAD)
\(\Rightarrow\)△HBK∼△CAK (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{KB}{KA}\) (tỉ số đồng dạng)
\(\Rightarrow KH.KA=KB.KC\)
-Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow MB=MC=\dfrac{BC}{2}\)
\(KH.KA\le\dfrac{BC^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow KB.KC\le\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(MB-MK\right)\left(MC+MK\right)\le MB^2\) (do cách dựng hình)
\(\Leftrightarrow\left(MB-MK\right)\left(MB+MK\right)\le MB^2\)
\(\Leftrightarrow MB^2-MK^2\le MB^2\) (luôn đúng do MK>0)
-Vậy \(KH.KA\le\dfrac{BC^2}{4}\) . Dấu bằng xảy ra khi △ABC cân tại A.