cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(abc\le1\)
CMR \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ge a+b+c\)
dấu bằng xảy ra khi nào
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DL
25 tháng 8 2018
vì a, b, c > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\frac{a}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=3a\) (vì \(abc\le1\Rightarrow\frac{1}{bc}\ge a\))
tương tự: \(\frac{b}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\ge3b\); \(\frac{c}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\ge3c\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\ge3\left(a+b+c\right)\Leftrightarrowđpcm\)
T
16 tháng 1 2019
Mình có cách này,không chắc lắm:
\(VT=\frac{a}{a\left(a^2+bc+1\right)}+\frac{b}{b\left(b^2+ac+1\right)}+\frac{c}{c\left(c^2+ab+1\right)}\) (làm tắt,bạn tự hiểu nha)
\(=\frac{1}{a^2+bc+1}+\frac{1}{b^2+ac+1}+\frac{1}{c^2+ab+1}\)
\(\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left[\left(1+1+1\right)-\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\right]\)
\(=1-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô si với biểu thức trong ngoặc:
\(=1-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)
\(\le1-\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\left(\sqrt[3]{b}-1\right)\left(\sqrt[3]{c-1}\right)}\le1^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
17 tháng 1 2019
Ta c/m bđt sau:
\(a^3+1\ge a^2+a\)
\(\Leftrightarrow a^3+1-a^2-a\ge0\Leftrightarrow a\left(a^2-1\right)-\left(a^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^3+a+1}\le\frac{a}{a^2+2a}=\frac{1}{a+2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\le\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
Đặt \((a,b,c)\rightarrow(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2y}+1-\frac{y}{y+2z}+1-\frac{z}{z+2x}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\right)\)\(\le\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
KN
12 tháng 6 2020
Vì abc = 1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)\(=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{abc}{abc^2+abc+ac}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và áp dụng đẳng thức (*), ta được:
\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)\(=\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}\right)^2}{a}+\frac{\left(\frac{b}{bc+b+1}\right)^2}{b}+\frac{\left(\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{c}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
17 tháng 9 2017
Đặt \(a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}\) là ra bạn KK
22 tháng 8 2017
doan thi khanh linh câm cái mồm đi.đã ngu lại còn thích k
22 tháng 8 2017
áp dụng co si ta có:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}\right)+\left(\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}\right)\)
\(\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
24 tháng 2 2018
bài này đùng Shinra nhé
ưu điểm của shinra : rất khó tìm ra lỗi sai , nếu vừa nói vừa làm thì có thể thầy cô cũng ko nhận ra :)
nhược điểm : nếu bị để ý kĩ thì SM luôn đấy :)
áp dụng BDT cô si ta có :
\(a+1+1\ge3\sqrt[3]{a}.\) tương tự với các mẫu còn lại
vì nó năm ở dưới mẫu dấu > thành dấu <
\(vt\le\frac{1}{3\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{c}}.\)
\(abc=1\Leftrightarrow a=\frac{1}{bc}\)
\(VT\le\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{bc}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{ac}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{ab}}}=\frac{\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{ab}}{3}\)
có \(a+b+C\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( abc=1) ( nhớ kĩ cái này là chìa khóa để rứt điểm bài này ko được quên nha )
nhân cả tử cả mẫu cho 3 ta được
\(VT\le\frac{3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ac}+3\sqrt[3]{ab}}{9}\)
\(3\sqrt[3]{b.c.1}\le\left(b+c+1\right)\) tương tự với các số hạng còn lại ta được
đến đây ta dùng Shinra nhé
\(VT\le\frac{2\left(a+b+c\right)+3}{9}=\frac{6+3}{9}=1\)
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1
dau = xay ra <=> a/b+b/a+c/b = a+b+c => abc+bac+cba = abc+bac+cab =>abc =1 => a+b+c=1