Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng a//BC. Qua B vẽ đường thẳng b//AC và qua C vẽ đường thẳng c//AB. Các đường thẳng b và c cắt nhau tại A' và cắt đường thẳng a lần lượt tại C' và B'. Chứng minh rằng: ∆ABC và ∆A'B'C' có cùng một trọng tâm
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét tam giác \(ABC\) có \(B'C'//BC\) nên theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{2}{6} = \frac{{AC'}}{8}\). Do đó, \(AC' = \frac{{2.8}}{6} = \frac{8}{3}\left( {cm} \right)\).
Vậy \(AC' = \frac{{16}}{3}cm\).
b) Xét tam giác \(ABC\) có \(C'D//AB\) nên theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AC'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{BD}}{{10}} = \frac{{\frac{8}{3}}}{8}\). Do đó, \(BD = \frac{{10.\frac{8}{3}}}{8} = \frac{{10}}{3}\left( {cm} \right)\).
Vậy \(BD = \frac{{10}}{3}cm\).
Ta có: \(BB' = AB - AB' = 6 - 2 = 4cm\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}B'C'//BC\\C'D//AB\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B'C'//BD\\C'D//B'B\end{array} \right.\) (do \(D \in BC;B' \in AB\))
Xét tứ giác \(B'C'DB\) có
\(\left\{ \begin{array}{l}B'C'//BD\\C'D//B'B\end{array} \right. \Rightarrow \) tứ giác \(B'C'DB\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B'C' = BD = \frac{{10}}{3}cm\\BB' = C'D = 4cm\end{array} \right.\) (tính chất hình bình hành)
c) Ta có: \(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{\frac{8}{3}}}{8} = \frac{1}{3};\frac{{BC'}}{{BC}} = \frac{{\frac{{10}}{3}}}{{10}} = \frac{1}{3}\)
Do đó, \(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}\).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
Tam giác ABC cân tại A => góc ABC = góc ACB
Mà góc ABD = góc ACD (=90độ) => góc ABD - góc ABC = góc ACD - góc ACB <=> góc DBC = góc DCB
=> Tam giác DBC cân ở D => DB=DC
b. gỌI I là giao điểm của AD và BC
Ta có: tam giác ABD = tam giác ACD (c-c-c)
=> góc BAD = góc CAD <=> góc BAI = góc CAI
=> tam giác BAI = tam giác CAI (c-g-c) => BI=IC
=> AI là trung trực của BC
CMTT có: DI là trung trực BC
=> Đường thẳng AD là trung trực của BC