Question

[Cao Minh]

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB,AC (B,C là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến ADE. Chứng minh :
a/ Tứ giác ABOC nội tiếp 
b/ AB² = AD.AE
c/ Từ C kẻ đường thẳng song song với AE cắt đường tròn (O) tại M ,BM cắt DE tại H  . Chứng minh HE=HD

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến nên $OB\perp AB, OC\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0$ nên tứ giác $ABOC$ nội tiếp.

b) Xét tam giác $ABD$ và $AEB$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$ (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nt chắn cung đó)

$\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle AEB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AE.AD$

c) 

Vì $DE\parallel CM$ nên $DC=EM$
Ta có:

$\widehat{BHA}=\frac{1}{2}(\text{sđc(BD)+sđc(EM)})$

$\widehat{BOA}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\frac{1}{2}(\text{sđc(BD)+sđc(CD)})$
Mà $DC=EM$ nên $\widehat{BHA}=\widehat{BOA}$ 

$\Rightarrow BHOA$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BHO}=\widehat{ABO}=90^0$

$\Rightarrow HO\perp DE$

$\Rightarrow H$ là trung điểm $DE$ hay $HD=HE$

Ta có đpcm.

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: