Cho tam giác ABC và 3 đường phân giác AM, BN, CP cắt nhau tại I. CM:
a) MB/MC.NC/NA.PA/PB=1
b) MI/MA+NI/NB+PI/PC=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 2 2022
a) -Xét △ABC có: AM, BN, CP lần lượt là ba đường phân giác (gt).
\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC};\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{BC}{AB};\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AC}{BC}\) (định lí đường phân giác trong tam giác).
\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{NC}{NA}.\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{AB}.\dfrac{AC}{BC}=1\)
b) Ta có:\(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}\) (cmt)
\(\Rightarrow\dfrac{MB}{AB}=\dfrac{MC}{AC}=\dfrac{MB+MC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow MC=\dfrac{BC.AC}{AB+AC}\)
-Tương tự: \(NC=\dfrac{BC.AC}{AB+BC}\) ; \(BP=\dfrac{BC.AB}{AC+BC}\)
-Xét △AMC có: CI là đường phân giác (gt)
\(\Rightarrow\dfrac{AI}{MI}=\dfrac{AC}{MC}\) (định lí đường phân giác trong tam giác)
\(\Rightarrow\dfrac{AI}{MI}+1=\dfrac{AC}{MC}+1\)
\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MI}=\dfrac{AC}{\dfrac{AC.BC}{AB+AC}}+1\)
\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MI}=\dfrac{1}{\dfrac{BC}{AB+AC}}+1\)
\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MI}=\dfrac{AB+AC}{BC}+1=\dfrac{AB+AC+BC}{BC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{BC}{AB+AC+BC}\)
-Tương tự: \(\dfrac{NI}{NB}=\dfrac{AC}{AB+AC+BC};\dfrac{PI}{PC}=\dfrac{AB}{AB+AC+BC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{MI}{MA}+\dfrac{NI}{NB}+\dfrac{PI}{PC}=\dfrac{AB+AC+BC}{AB+AC+BC}=1\)
7 tháng 3 2021
a) Xét ΔABC có
AM là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)
nên \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)
Xét ΔABC có
BN là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)
nên \(\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{BC}{AB}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)
Xét ΔABC có
CP là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)
nên \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AC}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)
Ta có: \(\dfrac{MB}{MC}\cdot\dfrac{NC}{NA}\cdot\dfrac{PA}{PB}\)
\(=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{AB}\cdot\dfrac{AC}{BC}\)
\(=\dfrac{AB\cdot AC\cdot BC}{AB\cdot AC\cdot BC}=1\)(đpcm)
27 tháng 1 2021
a) Ta có: AB,BC,CA tỉ lệ với 4;7;5(gt)
nên AB:BC:CA=4:7:5
hay \(\dfrac{AB}{4}=\dfrac{BC}{7}=\dfrac{CA}{5}\)
Ta có: \(\dfrac{AB}{4}=\dfrac{AC}{5}\)(cmt)
nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{5}\)
Xét ΔABC có
AM là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)
nên \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)
mà \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{5}\)(cmt)
nên \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{4}{5}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{MB}{4}=\dfrac{MC}{5}\)
mà MB+MC=BC(M nằm giữa B và C)
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{MB}{4}=\dfrac{MC}{5}=\dfrac{MB+MC}{4+5}=\dfrac{BC}{9}=\dfrac{18}{9}=2\)
Do đó: \(\dfrac{MC}{5}=2\)
hay MC=10(cm)
Vậy: MC=10cm
d) Xét ΔABC có
CP là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)
nên \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AC}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)
Xét ΔABC có
BN là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)
nên \(\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{BC}{AB}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)
Ta có: \(\dfrac{MB}{MC}\cdot\dfrac{NC}{NA}\cdot\dfrac{PA}{PB}\)
\(=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{AB}\cdot\dfrac{AC}{BC}\)
\(=\dfrac{AB\cdot AC\cdot BC}{AB\cdot AC\cdot BC}=1\)(đpcm)
2 tháng 4 2020
Trả lời :
Bạn tham khảo bài làm của mình ở dưới đây nha !
Xin lỗi bạn vì không viết hẳn ra được vì 1 trước lúc đó mình đang hok thì bị sập máy do hết pin nên làm lại ra giấy cho nhanh ,bạn tham khảo nha !
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 3 2019
Ta có \(\frac{MA}{MI}=\frac{AI+IM}{MI}=\frac{AI}{MI}+1\)
Trong tam giác \(ACM\) do CI là phân giác, theo t/c phân giác: \(\frac{AI}{MI}=\frac{AC}{MC}\)
Trong \(\Delta ABM\) có BI là phân giác: \(\frac{AI}{MI}=\frac{AB}{MB}\)
\(\Rightarrow\frac{AI}{MI}=\frac{AC}{MC}+\frac{AB}{MB}=\frac{AC+AB}{MB+MC}=\frac{AB+AC}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{MA}{MI}=\frac{AI}{MI}+1=\frac{AB+AC}{BC}+1=\frac{AB+AC+BC}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{MI}{MA}=\frac{BC}{AB+AC+BC}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{NI}{NB}=\frac{AC}{AB+AC+BC}\\\frac{PI}{PC}=\frac{AB}{AB+AC+BC}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{MI}{MA}+\frac{NI}{NB}+\frac{PI}{PC}=\frac{AB+AC+BC}{AB+AC+BC}=1\) (đpcm)
DA
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 1 2021
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{MB}{MC}=\frac{S_{BIM}}{S_{CIM}}=\frac{S_{BAM}}{S_{CAM}}=\frac{S_{BAM}-S_{BIM}}{S_{CAM}-S_{CIM}}=\frac{S_{BAI}}{S_{CAI}}\)
\(\frac{NC}{NA}=\frac{S_{BNC}}{S_{BAN}}=\frac{S_{CNI}}{S_{ANI}}=\frac{S_{BNC}-S_{CNI}}{S_{BAN}-S_{ANI}}=\frac{S_{BIC}}{S_{BAI}}\)
\(\frac{PA}{PB}=\frac{S_{PAC}}{S_{PBC}}=\frac{S_{PAI}}{S_{PBI}}=\frac{S_{PAC}-S_{PAI}}{S_{PBC}-S_{PBI}}=\frac{S_{PAI}}{S_{BIC}}\)
Nhân 3 đẳng thức với nhau:
\(\frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB}=1\) (đpcm)
H
2 tháng 4 2018
a, Xét tam giác ABC có G là trọng tâm
=> \(PG=\frac{1}{3}PC\) ( t/c trọng tâm tam giác )
Xét tam giác ABG có GP và AF là các trung tuyến
Mà GP cắt AF tại I nên I là trọng tâm
=> \(PI=\frac{1}{3}PG=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}PC=\frac{1}{9}PC\) ( đpcm )
