cho x+y+z=3 . tìm gtnn của M=x^2+y^2+z^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
19 tháng 10 2015
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta được:
\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)
\(\Rightarrow3^2\le3.\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
\(\text{Dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=1}\)
Vậy GTNN của M là 3 tau x=y=z=1
NM
1
11 tháng 6 2021
\(P=x^2+y^2+z^2+\dfrac{20}{x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\dfrac{20}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\dfrac{9}{x+y+z}+\dfrac{9}{x+y+z}+\dfrac{2}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}.\dfrac{9}{x+y+z}.\dfrac{9}{x+y+z}}+\dfrac{2}{3}\)
(theo AM-GM và do \(x+y+z\le3\Rightarrow\dfrac{2}{x+y+z}\ge\dfrac{2}{3}\))
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{29}{3}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Vậy minP\(=\dfrac{29}{3}\)
N
0
BX
2
31 tháng 8 2023
Ta có \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2+2yz+z^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
1 tháng 9 2023
Áp dụng Bđt Bunhiacopxki cho các cặp số dương \(\left(1;x\right);\left(1;y\right);\left(1;z\right)\)
\(\left(1.x+1.y+1.z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\Rightarrow x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)
Vậy \(GTNN\left(P\right)=3\left(tạix=y=z=1\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2023
Ta có: \(2x^3+2y^3-\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{y^3+z^3}{y^2+z^2}\ge\dfrac{y+z}{2}\) ; \(\dfrac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\ge\dfrac{z+x}{2}\)
Cộng vế: \(P\ge x+y+z\ge6\)
\(P_{min}=6\) khi \(x=y=z=2\)
OS
0
VP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Tương tự:
$y^2+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
$z^2+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Cộng theo vế:
$A\geq 9\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ (đây chính là $A_{\min}$)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
