Cho a, b, c > 0 thỏa mãn (a + b)(a + c) = 8. Tìm GTLN của C = abc(a + b + c). giúp em với em cảm ơn nhiều ạ
nhớ làm phần dấu = xảy ra luôn nha em cảm ơn nhiều
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{c}+b^2c=ab\left(a+b+c\right)+b^2c=ab\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)=b\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(\dfrac{1}{c}+a^2c=ab\left(a+b+c\right)+a^2c=a\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{c}+b^2c\right)\left(\dfrac{1}{c}+a^2c\right)=ab\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)=c^2\left(a+b\right)^2ab\left(ab+bc+ac+c^2\right)\)\(=c^2\left(a+b\right)^2\left(a^2b^2+ab^2c+a^2bc+abc^2\right)\)\(=c^2\left(a+b\right)^2\left[a^2b^2+abc\left(a+b+c\right)\right]=c^2\left(a+b\right)^2\left(a^2b^2+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2\left(a^2b^2+1\right)}=\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2c^2\right)\left(1+a^2c^2\right)}{c^2+a^2b^2c^2}}=a+b\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 4 2023
Trước hết ta c/m bổ đề sau:
Với mọi số thực dương x;y ta luôn có:
\(x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)
Thật vậy, BĐT đã cho tương đương:
\(x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng bổ đề trên ta có:
\(T\le\dfrac{a}{bc\left(b^2+c^2\right)+a}+\dfrac{b}{ac\left(a^2+c^2\right)+b}+\dfrac{c}{ab\left(a^2+b^2\right)+c}\)
\(\Rightarrow T\le\dfrac{a^2}{abc\left(b^2+c^2\right)+a^2}+\dfrac{b^2}{abc\left(a^2+c^2\right)+b^2}+\dfrac{c^2}{abc\left(a^2+b^2\right)+c^2}\)
\(\Rightarrow T\le\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
\(T_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)
15 tháng 8 2019
( a + b ) ( a + c ) = 8 hay a2 + ab + ac + bc = 8
\(\Rightarrow\)a ( a + b + c ) + bc = 8
\(\sqrt{abc\left(a+b+c\right)}=\sqrt{a\left(a+b+c\right).bc}\le\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{2}=4\)
\(\Rightarrow abc\left(a+b+c\right)\le16\)
Vậy GTLN của A là 16
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2022
Chắc là \(P=\dfrac{1}{1+2x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+2z}\)
Do \(xyz=1\), đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{b}{a};\dfrac{c}{b};\dfrac{a}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{1+\dfrac{2b}{a}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{2c}{b}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{2a}{c}}=\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}\)
\(P=\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2022
Ủa sao giả thiết là a;b;c mà biểu thức lại là x;y;z vậy em?
DD
2 tháng 7 2021
Ta có : c + c + a = 5
=> c + c = 2 hoặc c + c = 4
=> c = 1 hoặc c = 2
TH1 : c = 1 ; c + c =2
=> a = 3
=> a + a = 6
=> b=4
=> b + b= 8
=> TH1 Chọn ( a = 3 ; b = 4 ; c = 1 )
TH2 : c= 2 ; c + c = 4
=>a = 1
=> a + a = 2
=> b = 8
=> b + b =16
Mà c + b + b = 9 ; 16 > 9
=> TH2 : Loại
Vậy a = 3 ; b = 4 ; c = 1
BC
7 tháng 4 2022
Ta có : c + c + a = 5
=> c + c = 2 hoặc c + c = 4
=> c = 1 hoặc c = 2
TH1 : c = 1 ; c + c =2
=> a = 3
=> a + a = 6
=> b=4
=> b + b= 8
=> TH1 Chọn ( a = 3 ; b = 4 ; c = 1 )
TH2 : c= 2 ; c + c = 4
=>a = 1
=> a + a = 2
=> b = 8
=> b + b =16
Mà c + b + b = 9 ; 16 > 9
=> TH2 : Loại
Vậy a = 3 ; b = 4 ; c = 1
NT
6
Ta có \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)=8\)\(\Leftrightarrow a^2+ab+bc+ca=8\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)+bc=8\)
Mặt khác vì \(a,b,c>0\) nên ta có thể lấy căn bậc hai của C: \(C=abc\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{C}=\sqrt{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(=\sqrt{a\left(a+b+c\right).bc}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(a\left(a+b+c\right)\)và \(bc\), ta có:
\(\sqrt{C}=\sqrt{a\left(a+b+c\right).bc}\le\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{2}=\frac{8}{2}=4\)(vì \(a\left(a+b+c\right)+bc=8\left(cmt\right)\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{C}\le4\)\(\Leftrightarrow C\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a\left(a+b+c\right)=bc\)\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)-bc=0\)\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)+bc-2bc=0\)
\(\Leftrightarrow8-2bc=0\)\(\Leftrightarrow2bc=8\)\(\Leftrightarrow bc=4\)
Như vậy với \(a,b,c>0\) và \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)=8\)thì GTLN của C là 16 khi \(bc=4\)
Em lớp 9, nếu bài làm có gì sai thì mong chị thông cảm ạ.