Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
{ x + y + z = 1 (1)
{ x² + y² + z² = 1 (2)
{ x³ + y³ + z³ = 1 (3)
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)
⇒ 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)² - (x² + y² + z²) = 1² - 1 = 0 ⇒ xy + yz + zx = 0
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3(x + y)(y + z)(z + x)
⇒ 3(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)³ - (x³ + y³ + z³) = 1³ - 1 = 0
⇒ x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
@ Nếu x + y = 0 ⇔ x = - y thay vào (1) ⇒ z = 1 , thay vào (2) ⇒ 2x² + 1 = 1 ⇒ x = 0; y = 0
⇒ S = 1
Tương tự cho trường hợp y + z = 0 và z + x = 0
\(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2\le1\Rightarrow-1\le x,y,z\le1\)
Ta có:\(x^3+y^3+z^3-x^2-y^2-z^2=0\)
\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)=0\)
Vì \(x-1\le0,y-1\le0,z-1\le0\)
\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)\text{}\le0,y^2\left(y-1\right)\le0,z^2\left(z-1\right)\le0\)
\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)\text{}+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)\le0\)
Dấu "=" xảy ra khi\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\left(x-1\right)=0\\y^2\left(y-1\right)=0\\z^2\left(z-1\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)\) là bộ (0,0,1) và các hoán vị
\(\Rightarrow x^{2021}+y^{2021}+z^{2021}=1\)
Lời giải:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y-z}\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y-z}=\frac{x+y}{z(x+y-z)}\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(\frac{1}{xy}-\frac{1}{z(x+y-z)})=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{z(x+y-z)-xy}{xyz(x+y-z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{(z-x)(y-z)}{xyz(x+y-z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(z-x)(y-z)=0\)
Xét các TH sau:
TH1: $x+y=0$. TH này loại do ĐKXĐ $x,y>0$
TH2: $z-x=0\Leftrightarrow z=x$
$\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{2020}{2021}$
\(M=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{2}{\sqrt{y}}=2\sqrt{\frac{2020}{2021}}\)
TH3: $y-z=0$ tương tự TH2, ta có \(M=2\sqrt{\frac{2020}{2021}}\)
Mình tự làm tận 1h nên hơi dài 1 tí nhưng chắc chắn đúng đó :))
Ta có: x2 + y2 + xy .- 3x - 3y + 3 = 0
=>( x2 - 2x + 1) - x + ( y2 - 2y + 1) - y + xy + 1 = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + ( -x + -y + xy +1) = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + [(-x+ xy) + (-y+1)] = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + [ x(y-1) - (y-1)] = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + (x-1)(y-1) = 0
=> (x-1)2 + 2.1/2.(x-1)(y-1) + (1/2)2.(y-1)2 + 3/4.(y-1)2 = 0
=> [x-1+1/2(y-1) ]2 + 3/4.(y-1)2 = 0
Vì: [x-1+1/2(y-1) ]2 >= 0 với mọi x;y thuộc R
3/4.(y-1)2 >= 0 với mọi y thuộc R
=> (x-1+1/2y -1/2 = 0) và ( y-1 = 0)
=> (x = 1/2 -1/2y+1) và (y=1)
=> x = y =1
Chỗ này thay giá trị vào biểu thức rồi chứng minh = cách chỉ ra các cơ số của từng lũy thừa là số nguyên là xong.
