GHPT: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1+y^2+xy=4y\\x+y-2=\dfrac{y}{x^2+1}\end{matrix}\right.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
16 tháng 5 2017
part full :v
*Th 1: \(x+y=2\)
\(Pt\left(1\right)\Leftrightarrow3y\sqrt{2-y^2}=x+\dfrac{4}{x+1}\)
xét \(VT=3y\sqrt{2-y^2}=3\sqrt{y^2\left(2-y^2\right)}\le3.\dfrac{y^2+2-y^2}{2}=3\)(theo AM-GM)
\(VT=x+\dfrac{4}{x+1}=\left(x+1\right)+\dfrac{4}{x+1}-1\ge2\sqrt{\dfrac{4\left(x+1\right)}{x+1}}-1=4-1=3\)(theo AM-GM)
do đó \(VT\le3;VF\ge3\)
\(VT=VF\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2=2-y^2\\x+1=\dfrac{4}{x+1}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm1\\\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)(tmđkxđ)(4 cặp)
*TH 2 \(\left(x+1\right)\sqrt{2-y^2}=1\Leftrightarrow x+1=\dfrac{1}{\sqrt{2-y^2}}\)(\(-\sqrt{2}< y< \sqrt{2}\))
thế vào Pt(1) , bình phương giải (nhác làm quá)
TP
1
TP
0
NV
22 tháng 12 2022
\(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x^3}=y-\dfrac{1}{y^3}\left(1\right)\\\left(x-4y\right)\left(2x-y+4\right)=-36\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(Đk:\left\{{}\begin{matrix}x,y\ne0\\x\ne4y\\2x\ne y-4\end{matrix}\right.\)
\(x-\dfrac{1}{x^3}=y-\dfrac{1}{y^3}\)
\(\Rightarrow x-y+\dfrac{1}{y^3}-\dfrac{1}{x^3}=0\)
\(\Rightarrow x-y+\dfrac{x^3-y^3}{x^3y^3}=0\)
\(\Rightarrow x-y+\dfrac{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{x^3y^3}=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right).\dfrac{x^2+xy+y^2+x^3y^3}{x^3y^3}=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x^2+xy+y^2+x^3y^3=0\end{matrix}\right.\)
Với \(x=y\) . Thay vào (2) ta được:
\(\left(x-4x\right)\left(2x-x+4\right)=-36\)
\(\Leftrightarrow-3x.\left(x+4\right)=-36\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+4\right)=12\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x-12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2-16=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\Rightarrow y=2\\x=-6\Rightarrow y=-6\end{matrix}\right.\)
Với \(x^2+xy+y^2+x^3y^3=0\) . Ta sẽ chứng minh trường hợp này vô nghiệm.
Có: \(\left(x+y\right)^2+x^3y^3-xy=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+xy\left(xy+1\right)\left(xy-1\right)=0\left(3\right)\)
Với \(xy>1\Rightarrow VT\left(3\right)>0\Rightarrow ptvn\)
Với \(xy=1\Rightarrow\left(x+y\right)^2=0\Rightarrow x=-y\)
\(\Rightarrow x^2=-1\Rightarrow ptvn\)
Với \(1>xy\ge0\Rightarrow xy\left(xy+1\right)\left(xy-1\right)\le0\) (có thể xảy ra).
Với \(0>xy>-1\Rightarrow VT\left(3\right)>0\Rightarrow ptvn\)
Với \(xy< -1\Rightarrow xy\left(xy-1\right)\left(xy+1\right)\le0\) (có thể xảy ra).
Vì \(x,y\ne0\) nên ta có: \(\left[{}\begin{matrix}1>xy>0\\xy< -1\end{matrix}\right.\left('\right)\)
\(\left(2\right)\Rightarrow2x^2-xy+4x-8xy+4y^2-16y=-36\)
\(\Rightarrow2x^2+4x+4y^2-16y+36=9xy\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+2x+1\right)+4\left(y^2-4y+4\right)+18=9xy\)
\(\Rightarrow2\left(x+1\right)^2+4\left(y-2\right)^2+18=9xy>18\)
\(\Rightarrow xy>2\left(''\right)\)
Từ \(\left('\right),\left(''\right)\) suy ra hệ vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(2;2\right),\left(-6;-6\right)\right\}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 1 2021
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{1}{x+y}+x-y+\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{16}{3}\\\left(x+y\right)^2+\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}=\dfrac{100}{9}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{1}{x+y}+x-y+\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{16}{3}\\\left(x+y+\dfrac{1}{x+y}\right)^2+\left(x-y+\dfrac{1}{x-y}\right)^2=\dfrac{136}{9}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{1}{x+y}=u\\x-y+\dfrac{1}{x-y}=v\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=\dfrac{16}{3}\\u^2+v^2=\dfrac{136}{9}\end{matrix}\right.\)
Hệ cơ bản, chắc bạn tự giải quyết phần còn lại được
9 tháng 11 2021
\(PT\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)+2xy=x+y\\ \Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]\left(x+y\right)+2xy-\left(x+y\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-2xy\left(x+y\right)+2xy-\left(x+y\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-1\right]-2xy\left(x+y-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y-1\right)\left(x+y+1\right)-2xy\left(x+y-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left[\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)-2xy\right]=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x^2+2xy+x+y^2+y+1=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\\ \left(3\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=0\\ \Leftrightarrow\left(x+y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}=0\left(vô.n_o\right)\)
Từ đó em thế vô PT(2) thôi
- Với \(y=0\) không phải nghiệm
- Với \(y\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+1}{y}+x+y=4\\x+y-2=\dfrac{y}{x^2+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2+1}{y}+2=4-\dfrac{y}{x^2+1}\)
Đặt \(\dfrac{x^2+1}{y}=t\Rightarrow t=2-\dfrac{1}{t}\Leftrightarrow t^2-2t+1=0\)
\(\Rightarrow t=1\Rightarrow\dfrac{x^2+1}{y}=1\Rightarrow\dfrac{y}{x^2+1}=1\)
Thế xuống pt dưới: \(x+y-2=1\Rightarrow x=3-y\)
Thế vào pt trên: \(\left(3-y\right)^2+1+y^2+y\left(3-y\right)=4y\)
\(\Leftrightarrow...\)